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Bem-Vindo

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É nosso dever dar as boas-vindas da melhor maneira possível. Temos que jogar limpo, vencendo ou perdendo. Na minha opinião, vejo uma honrosa vitória iminente. Love 101

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História da função :

O termo função foi introduzido pelo Gottfried Leibniz, no século XVII, em conexão com o desenvolvimento do cálculo.

Gottfried em uma de suas cartas, descreve a declividade de uma curva em um ponto específico. Pode ser observado em alguns trabalhos percursores, de filósofos e matemáticos medievais, como Oresme, o uso da função.

No século XVII os matemáticos tratavam por funções, aquelas definidas por expressões analíticas. A reformulação da Geometria em termos da análise e a invenção da teoria dos conjuntos por Cantar, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro, foi durante os rigorosos desenvolvimentos da análise matemática por Weierstrass e outros. Não se sabe quem se dera os créditos da noção moderna de função.

https://presente.m.wikipedia.org/wiki/fun

https://mundoeducacao.oul.com.br

https://www.ipb.pt

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Conceito de função:

A função é quando tem uma relação entre dois conjuntos na qual tem uma associação entre elementos do conjunto A com elementos do conjunto B, que faça corresponder a todo elemento do conjunto A a um único do conjunto B, ocorre a função.

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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto chamado domínio a um único elemento de outro conjunto, chamado de contradomínio. Uma função pode ser classificada como injetora, sobrejetora e/ou bijetora de acordo com o modo como os elementos do domínio relacionam-se com os elementos do contradomínio.

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Função no dia-a-dia e sua

efinição por fórmula

Como podemos achar funções no dia-a-dia?

Funções podem ser encontradas facilmente em nosso dia-a-dia. Independentemente de hora,

lugar ou dia, elas se fazem presentes no cotidiano. Veja alguns exemplos:

Exemplos

Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar.

· Número de questões que acertei num teste, com a nota que eu vou tirar.

· Valor do meu salário, com o valor do desconto do INSS.

· Medida de contorno do meu terreno, com a quantidade de metros de arame de que preciso

para cercá-lo.

Examinando o primeiro exemplo dado acima, a tabela a seguir mostra a relação entre o número de pães comprados e o correspondente preço a pagar. Número de pães Preço a pagar (R$) 1 0,12 2 0,24 3 0,36 4 0,48 5 0,60 6 0,72 Para fazer esta tabela, o dono da padaria fez o seguinte cálculo: Preço a pagar = 0,12 . número de pães Dizemos que o preço a pagar (y) é função do número de pães (x), pois cada quantidade x de pães existe um único preço y a pagar. Usando as letras x e y, podemos representar esse cálculo na expressão: y = 0,12 . x Se eu quiser saber, por exemplo, quantos pães posso comprar com R$ 6,00, basta fazer Y = 6 na expressão. Y = 0,12 . x 6 = 0,12 . x x = 6 / 0,12 = 50 R: Posso comprar 50 pães. Função definida por fórmula Toda função é definida por uma lei de formação, é dessa forma que relacionamos dois conjuntos A e B. As funções servem para expressar situações com base na álgebra, generalizando os problemas através de fórmulas. Por exemplo, a função y = 2x ou f(x) = 2x mostra que os valores de y dependem dos valores de x. Nesse caso temos que y corresponde ao dobro de x. Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

f:R→R tal que f(x) = 2x

Exemplos:

Bibliografia https://funcoesopcao1c.blogspot.com/p/funcoes-no-dia-dia.html https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-definida-por-formula.htm

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Domínio De Uma Função

Estudar o domínio das funções reais, significa basicamente obter os valores de x que fazem com que essas funções existam! Sim, porque em determinadas situações, existem as chamadas impossibilidades matemáticas, e é delas que nós vamos aprender a fugir hoje!Pois bem, quando falamos de uma função, é muito importante termos em mente 3 componentes essenciais a ela: o seu domínio, ou conjunto de partida, o seu contradomínio, ou conjunto de chegada, e também a própria lei de correspondênciadessa função, que relaciona ambos os conjuntos.Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B).

Geralmente, todos esses componentes são apresentados nos enunciados dos exercícios, ou então nas definições das mais variadas funções. Um exemplo disso é o caso da definição da função afim:

Vejam que a lei de correspondência da função afim é f(x) = ax + b, e que ela é dita como f: ℝ ⟶ ℝ. Isso significa que tanto o seu domínio, quanto o seu contradomínio, são formados pelo conjunto dos números reais. Agora, o fato é que muitas vezes nos é informada apenas a lei de correspondência de determinada função, mas não a regra que disponibiliza o seu domínio e o seu contradomínio, como essa que acabamos de ver. Sem essa regra, como poderíamos determinar o domínio e o contradomínio das funções abaixo, por exemplo?

E aí, alguma ideia? Pessoal, nós começaremos sempre afirmando que o contradomínio de qualquer função real é formado pelo conjunto dos números reais. Tendo isso vista, e sabendo que quando os valores do domínio são aplicados na lei de correspondência de uma função, eles geram como resultado valores presentes no contradomínio dessa mesma função, podemos dizer que os valores do domínio, quando aplicados a uma função real, devem resultar em números reais. É aí que mora o segredo da questão:Uma função existe, quando cada elemento do seu domínio resulta em um único elemento do seu contradomínio.Pessoal, se a questão de domínio e contradomínio ainda é confusa para vocês, eu peço, não se assustem! Na prática, devido as condições que adotamos para o contradomíniodas funções reais, nós podemos afirmar que o domínio de uma função real, é formado por todos os valores reais que podem assumir o lugar de x de tal maneira que essa função exista, ou seja, que ela resulte em valores também reais!

Aí que está, pessoal, nem sempre! Tudo vai depender das características da função, como vocês podem ver nos exemplos abaixo:

Vejam, – 4 e 0 são números reais. Só que devido as características das funções acima, quando esses valores são inseridos no lugar de x, as funções não resultam em um valor real. Nesse caso, diz-se que essas funções não existem para tais valores de x! Por isso, lembrem sempre: não existem resultados reais para radicais de índice par cujo radicando é negativo, e muito menos para divisões por zero!Assim, nosso trabalho daqui pra frente será analisar uma série de funções, determinando para quais valores de x elas existem, ou seja, resultam em um valor real. Quando encontrarmos valores de x que não permitem isso, nós os descartaremos do domínio da função. Vamos começar? Então, vem comigo aqui!Observem que podemos substituir o valor de xdessa função por qualquer valor real, e ela irá resultar em outro valor real também. Em casos como esse, diz-se que não há restriçãoalguma quanto ao domínio da função, e por isso ele é formado pelo conjunto dos números reais.Opa! Esse é um caso em que podemos encontrar algum problema! Vejam, nós temos uma função cuja variável encontra-se no denominador de uma fração, mas nós sabemos que o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero. Por isso, o domínio dessa função será formado por todos os valores reais que podem substituir o lugar de x, de forma que o denominador da função seja diferente de zero:A resolução da inequação acima, nos mostra que 2 é o único valor que quando substitui o lugar de x, faz com que a função não resulte em um valor real, mas sim em um valor indefinido, dado por uma divisão por zero. Por isso, devemos excluir o número 2 do domínio da função f(x), o que é apresentado na sequência, primeiro em forma de propriedade, e em seguida em forma de intervalo, onde o número 2 é apresentado como um conjunto unitário.Hummm, e agora surgiu uma função composta por uma raiz quadrada! Uma raiz quadrada possui índice 2, que é par, e por isso não pode conter um radicando negativo. Então, qualquer número que seja maior ou igual a zero, pode pertencer ao radicando dessa função:Assim, podemos concluir que qualquer número real maior ou igual a 3, quando substitui o lugar de x na função, faz com que a mesma resulte em um valor também real. Isso significa que somente esses valores fazem parte do domínio da função f(x).E agora, que temos uma função composta por uma raiz cúbica, será que muda alguma coisa? É claro que sim! A raiz cúbica é um radical de índice ímpar, e por isso o valor presente em seu radicando pode ser qualquer número real, incluindo os números negativos. Nesse caso, qualquer valor real que substitua x fará com que a função resulte em valores também reais. Aí, só podemos concluir que:Nesta nova função f(x), nós teremos dois possíveis problemas no denominador. Primeiro, o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero, e é claro que isso continua válido por aqui. Segundo, é que nesse caso em especial, o denominador é composto por uma raiz quadrada, cujo índice é par! Tendo isso em vista, é possível afirmarmos que o radicando dessa raiz não pode ser de forma alguma um valor igual a zero, ou negativo!Assim, qualquer valor maior que –4, sem incluir o próprio –4, pode substituir o lugar de x, e então a função sempre resultará em valores reais!Pois bem, até então nós encaramos algumas situações bem simples de estudo do domínio de uma função real. Contudo, é chegada a hora em que deveremos tomar decisões um pouquinho mais exigentes. Vamos estudar agora, o domínio de funções em que duas sentenças precisam ser válidas. Quando isso acontece, vocês vão ver, é necessário realizar a intersecção dessas duas sentenças, e o resultado será formado por valores que atendem a ambas as partes. Querem ver como funciona? Então continuem comigo!Vejam só, nesta função, tanto numerador quanto denominador são compostos por radicais de índice 2, um índice par. Por isso, é claro, ambos os radicandos não podem ser formados por números negativos. Agora, um detalhe não pode ser esquecido: o denominador de qualquer fração jamais pode ser zero! Então, por mais que para o numerador da função seja

suficiente um valor maior ou igual a zero, para o denominador, apenas um valor positivo pode ser válido:Valores maiores do que 2 satisfazem a sentença do denominador, embora somente valores menores ou iguais a 5 satisfaçam a sentença do numerador. Então, quais valores de x satisfazem ambas as sentenças? É o que nós veremos aqui através da interseçãodessas duas análises:Ora, nesse caso, apenas valores de x que se situam entre 2 e 5, incluindo o número 5, fazem com que a função como um todoresulte em valores reais. Assim, podemos definir o domínio de f(x) das duas maneiras apresentadas abaixo:Tudo entendido, pessoal? Então, antes de prosseguirmos, aqui vai um aviso bem importante: se vocês não entenderam as resoluções das inequações do último exemplo, é imprescindível darem uma olhada no texto Introdução à inequação do 1º grau. Lá vocês descobrem porque multiplicamos a primeira inequação por –1! E agora, vamos continuar…Apesar desta função não ser formada por uma fração, é fato que ela possui uma soma de dois radicais, cujo índice, é novamente par. Isso significa que em ambos os casos, o radicando deve ser um valor positivo ou igual a zero. Por isso, vamos resolver essas duas sentenças, e em seguida, realizaremos a intersecção das mesmas, afim de encontrar uma solução que satisfaça toda a função::A intersecção dessas sentenças é importante, porque mostra que nem sempre os valores de x que ficam entre as mesmas são aqueles que satisfazem toda a função. Nesse caso, apenas valores maiores ou iguais a ½ fazem com que a função como um todo resulte em valores reais. Então, é claro que o domínio de f(x) só pode ser formado por esses valores:O nosso último exemplo também é um caso bem curioso. Apesar de possuirmos funções diferentes no numerador e no denominador da fração, o que poderia nos levar a uma intersecção, é fato que no numerador, qualquer valor que assuma o lugar de x faz com que a função resulte em valores reais. Por isso, precisamos apenas avaliar o denominador da função, porque este sim, jamais pode ser zero!Pessoal, para quem não conhece, nós acabamos de analisar uma expressão do 2º grau incompleta. Em casos como esse, para simplificar a solução, nós costumamos colocar os termos comuns em evidência e trabalhar com o seguinte conceito: para que o produto entre dois termos seja diferente de zero, nenhum desses dois termos pode ser nulo, ou igual a zero. Para saber mais sobre o assunto, não deixem de ler o texto Equações do 2º Grau Incompletas!Sabendo que qualquer valor real, que não seja zero ou 1, pode ser substituído por x nessa última função de forma que ela resulte em valores reais, nós já podemos encerrar esse texto! Espero que tenham gostado do assunto, e que tudo o que vimos aqui contribua muito para desenvolvimento do raciocínio de vocês! É claro que em anexo fica aquele vídeo que complementa tudo o que vimos aqui. Não deixem de dar uma olhada nele, caso os conceitos de intersecção, intervalos ou qualquer outro fato relacionado ao assunto tenha soado um pouco confuso!E eu, fico por aqui! Um abraço pessoal, e até o próximo texto!

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zero de uma função

Designa-se por zero de uma função todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero. Por outras palavras, zero de uma função é todo o valor de x, pertencente ao domínio dessa função, tal que (x) = 0. Graficamente, o zero de uma função é todo o valor das abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox. Exemplo:

Os zeros da função são: x = 0, x = 3 e x = 6 x = 11 não é zero da função em virtude de esse valor não pertencer ao domínio de função Biografia:https//www.infopedia .pt zero de função

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Representação de Função

Domínio: O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f).

Exemplos: Vamos começar com um exemplo mais simples, essa função f(x) = 2x f: A → B, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Nesse caso o domínio da função D(f): {1, 2, 3, 4, 5}.

Contradomínio:  Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio.

Exemplo: O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio. Exemplo 1: ... f(1) = 1² = 1, a imagem da função quando x é igual a 1 é 1. f(2) = 2² = 4, a imagem da função quando x é igual a 2 é 4.

 Imagem: A representação algébrica de uma função é uma fórmula matemática que relaciona cada elemento de um conjunto a outro. Essa representação é dada pelo símbolo “f(x)” ou pela letra “y” com uma expressão algébrica na sequência.

Exemplo: O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio. Exemplo 1: ... f(1) = 1² = 1, a imagem da função quando x é igual a 1 é 1. f(2) = 2² = 4, a imagem da função quando x é igual a 2 é 4.

EXERCÍCIOS:

01- Observe a imagem abaixo e determine: D(f), CD(f) e IM(f) de cada uma delas:

Resposta:                                                                                                            a)D(f)={4,5,6,7}, CD(f)={8,9,10}, IM(f)={8,9,10}                                            b)D(f)={1,2,3},CD(f)=[5,6,7,8},IM(f)={5,6,7}                                                        c)D(f)={10,11,12} ,CD(13,14,15} IM{14,15}                                                                                                                                                                                          02-Dados os conjuntos:A{2,4,6} e B={4,6,8,10,12},determine o conjunto de imagem f:A→B definida por f (x) = 2x.                                                               Resposta: conjunto de imagens= 4,8,12                                                                 f(x)=2x                                                       f(x)=x.2x                                              f(2)=2.2=4                                                f(4)=4.2=8                                                  f(6)=6.2=12                                                                                                                  03-Dados os conjuntos A={5,6,7} e B={6,7,8,9,10}, determine o conjunto de imagem f:A→B definida por f(x)= x+3.                                                            Resposta: conjunto de imagens= 8,9,10                                                                f(x)=x+3                                                      f(5)=5+3=8                                              f(6)=6+3=9                                                f(7)=7+3=10                                                                                                    04-Dados os conjuntos A={0,3,6,7} e B={0,9,12,18,21},determine o conjunto de imagem f:A→B definida por f(x)=3x.                                                Resposta: conjunto de imagens= 0,9,18,21                                                          f(x)=3x.                                                      f(x)=x.3x                                                  f(0)=0.3=0                                                  f(3)=3.3=9                                                f(6)=6.3=18                                              f(7)=7.3=21                                                                                                                                                                                                                                                                             

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As matemáticas têm invenções sutilíssimas e servirão de muito, não apenas para satisfazer os curiosos como para tornar mais fáceis todas as artes e diminuir o trabalhos dos homens. René Descartes

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Filósofo Matemático

         René Descartes deve ser considerado um gênio da Matemática, pois relacionou a Álgebra com a Geometria, o resultado desse estudo foi a criação do Plano Cartesiano.

         Descartes utilizou o Plano Cartesiano no intuito de representar planos, retas, curvas e círculos através de equações matemáticas.O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais comumente conhecido como Plano Cartesiano, consiste em dois eixos perpendiculares numerados, denominados abscissa (horizontal) e ordenada (vertical), que tem a característica de representar pontos no espaço.          Os estudos iniciais da Geometria Analítica surgiram com as teorias de René Descartes, que representavam de forma numérica as propriedades geométricas. A criação da Geometria Analítica por Descartes foi fundamental para a criação do Cálculo Diferencial e Integral pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz. O Cálculo se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, sendo de grande importância na Física, Biologia e Química, no que diz respeito a cálculos mais complexos e detalhados.          Além do Cálculo e da Geometria Analítica, os estudos de Descartes permitiram o desenvolvimento da Cartografia, ciência responsável pelos aspectos matemáticos ligados à construção de mapas.

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Representação de Pontos em um Plano Cartesiano

O plano cartesiano é formado por duas retas, a abcissa (x) e a ordenada (y), sendo o ponto de origem ( ângulo de 90 graus),o local onde as duas retas se encontram.

O plano cartesiano foi idealizado por René Descartes, filósofo e matemático francês, tendo seu objetivo de sistematizar técnicas de localização no plano, especificando pontos em um determinado “espaço”- plano cartesiano. No plano cartesiano temos ao todo 4 quadrantes ( ++) (-+) (- -) (+-), independendo de qual seja o número, sempre vai ser de acordo com os quadrantes. 

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CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Para iniciar a construção do gráfico, é necessário escolher valores para a variável x. Esses valores serão substituídos na lei de formação da função para que o valor correspondente de y seja determinado, bem como o par ordenado. Os gráficos são representações que ilustram dados de uma determinada variável, obtidos por meio de uma pesquisa. A construção de um gráfico é feita a partir de uma tabela que contém as frequências dos dados da variável a ser estudada.

Como por exemplo:

o gráfico de uma função afim da forma f(x) = ax + b é sempre uma reta. O coeficiente “a” é o chamado de coeficiente angular e o coeficiente “b” é chamado de coeficiente linear.