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从一个常用的四维空间的定义说起

我们人类生活在三维空间，所以数学和物理上都是用三个坐标来定义空间位置。从最常用的笛卡尔坐标（x-y-z）到我们托卡马克核聚变研究中用的径向-极向-环向坐标（radius-poloidal-toroidal）都是三个维度。我当年发表在物理评论快报上的论文Observation of Plasma Toroidal-Momentum Dissipation by Neoclassical Toroidal Viscosity 【https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.96.225002】，其中理论研究的部分用的就是径向-极向-环向坐标。

从爱因斯坦高深的相对论到日常生活中人们的闲聊天，对四维空间的一个常用的定义就是三维空间再加上一维时间。其实这个是德国数学物理学家明斯科夫斯基（Hermann Minkowski）的四维“时空”坐标，并不是真正意义上的四维“空间”。（跑个题，名字��司机的不一定都是俄罗斯或者乌克兰人哦。）那么问题来了，我们人类是三维生物，是无法进入第四维空间尺度进行观测的，但如果有一天，一个四维空间的东西闯入了我们的三维空间，我们会看到什么呢？

这个问题有点复杂，让我们先退一步，假想一下二维空间里面的生物。（画得有点儿难看，大家将就着看。）

首先，这个二维空间生物完全无法进入第三维空间尺度。为了符合我们的习惯，它们的空间就只有前后和左右，没有上下的概念。所以它们的空间概念就是上图中黑色的部分，绿色的情形则不存在，也无法进入那个维度。

这时，三维空间里的人拿着一个三维的球靠近了这个二维空间。

然后这个三维的球闯入了二维空间，就像下图中的样子。二维空间生物会看到什么呢？

想必马上有聪明人会跳出来说“看到了一个圆！”。然后有更聪明的人说“随着这个三维球一点点地侵入二维空间，先看到一个圆点，然后圆点一点点变大，再变成一个圆盘。如果这个三维球继续移动，圆盘变成最大后会逐渐变小，变成一个圆点，然后消失。”

事实上，无论是圆点还是圆盘，都是三维人站在第三维度上看到的。而二维生物因为无法离开所在的二维平面，所看到的是一个点，然后一条线，然后逐渐变长，再变短，然后消失。想清楚了这一点，就不难意识到一个我们一直误解我们具有的一项“特异功能”：作为三维人的我们能够“看到”三维的球形，甚至任何三维形状。其实，我们真正看到的三维球从我们的视觉上来讲只是一个圆形，通过对反光、阴影、或者触摸等感知，再加上测量等等，我们才“脑补”成了球形。这也是为什么我们在电视、照片这些二维媒介上看到一个平面的煤球王踢足球，我们也会脑补成三维足球的原因。

好了，接下来真正的四维空间生物来了，并且带来了一个四维球。（是真正意义上的四维空间球，而不是那个德国司机的四维时空。数学上就是w^2+x^2+y^2+z^2=R^2)。作为三维空间里面的人，我当然没有可能画出四维的样子，大家继续脑补。

接下来这个四维球进入了我们的三维空间，我们会看到什么？有了前面的基础，现在不难理解了：我们会看到一个点，然后一个小圆形，然后逐渐变大。。。。

当然聪明的人类马上就会搞清楚，这其实是一个体积逐渐变化的球，就像我们吹一个气球一样。如果这个球的材质不是那么坚硬，或者人类可以开发出合适的工具，我们或许还可以挖进去看看里面是什么样子的。（在小小的圆球里挖呀挖呀挖。。。，在大一点的圆球里挖呀挖呀挖。。。。，在特别大的圆球里挖呀挖呀挖。。。🤣）当然我们只能看到它和三维空间相交的部分，另一维度上的东西则完全无法看到。

人类现有的科学观测表明，我们的太阳系甚至整个宇宙都在不断变大，说不好我们所观测到的宇宙其实就是一个四维的东西正在经过我们的三维空间呢。

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从美国初中数学竞赛的一道题目说起

前些日子我一个开办培训机构的朋友在微信上发了个广告，介绍他们的一个美国初中数学竞赛(AMC8)培训班，附带了一道题目用以说明初中数学竞赛的题目很有挑战性。

题目是：等腰三角形，阴影部分面积相等，没有阴影的部分高度分别是11和5。求等腰三角形的高。

我并不清楚他们的老师是怎么教这道题目的，但我把这一类问题叫做“大象为什么毛发稀疏”。这道题具体怎么做，放到最后再说，先说说大象毛多毛少的问题。

生物学家早就注意到，作为陆地上体积最大的物种，大象基本上是没有毛发的，或者说只有稀疏的毛发。对古生物学、考古学感兴趣或者看过二十世纪福克斯公司发行的动画片《冰川时代》的同学们一定知道大象的祖先猛犸象是全身长满浓密的毛发的。其实现代大象的稀疏毛发是为了适应自然环境的变化而进化而来的。动物产生热量的多少是和肌肉量(体积)成正比的，散热的快慢则是和身体的表面积成正比的，而毛发的作用则是防止热量流失。如果简单地把动物的身体看作一个立方体或者球体，身高/体宽增加一倍(变为原来的2倍)，表面积会变为原来的4倍，体积会变为原来的8倍。就是说一头3.6米高的大象和一个1.8米的人相比，身体表面积是4倍，体积则是8倍。产热量提高到8倍，而散热速度只提高到4倍，再加上浓密的毛发，冰川时代的猛犸象一定很耐寒。不过随着冰川季的结束，那些保留了浓密毛发的象就都越来越不适应逐渐变热的气候，而那些偶然变异毛发稀疏的象就出现了生存优势。慢慢的，长毛象因为无法耐热被自然选择所淘汰，生存下来的就都是毛发稀疏的大象了。

顺便跑个题，据说喜欢坐过山车的人里面女性占绝大多数，而平日里英雄气概非凡的男人们则多数害怕过山车。一种理论是，因为人类的祖先们是男人出门打猎，女性在家带娃，那些不知危险，登高爬低的男人们多数都摔死了。所以男性的恐高基因就作为一种生存优势，在自然选择中保留了下来。

回到原来的话题。生物学家们从理论上搞清了大象没毛是为了不被热死之后，又利用流体力学建立了许多模型用来证明其实长一些稀疏的毛发更有利于散热。这个链接里的文章就是其中一个模型。https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0047018。所以说，从生存的角度来看，具有毛发稀疏基因不见得是一件坏事；但从美观的角度来讲，人类还是不喜欢脱发，所以以色列人发明的抗脱药剂Minoxidil，一直是市场上的抢手货，并以此产生了许多品牌，甚至连Costco都有出售：https://www.costco.com/.product.100038030.html。咳，说着说着又跑题了。

再回到主题上。我把数学上的这一类题目都叫做“大象为什么毛发稀疏”，用数学语言描述就是，相似的几何图形或者几何体，其面积的比例和线性测量(比如长宽高、直径半径等等)比例的平方成正比，其体积的比例和线性测量比例的立方成正比。话有点儿拗口，画出图来就是下面这个样子：

这一关系其实表现在很多地方。比方说谷物加工厂， 麦粒谷粒本身很不易燃，但如果磨成很细的粉末，就是说公式中的b变得很小，相比于表面积的减小，体积的减小更显著。接触空气的表面积相对于体积而言变大，这些粉末就变得易燃。所以谷物加工厂要严格监控空气中的面粉粉尘含量避免发生爆炸。类似的情况还有同样质量的食盐，细盐就比粗盐更快溶于水。同样体积的容器，球形的表面积最小，家里锅炉用的水箱因为球形不易运输安装就做成圆柱形以减小表面积减少散热，而暖气则做成方方的扁扁的并通过加装叶片尽可能增大表面积以增加散热。

身材并不高大的加拿大鹅不具备体积和表面积比的优势，所以产热少散热快的它们在寒冷的加拿大生存除了依靠厚厚的皮下脂肪之外，浑身披满的鸭绒是御寒必备的法宝。所以鸭绒做成的羽绒服保暖效果超强。

世界名著格列佛游记里讲了一个大人国的故事，里面的人身体庞大但比例和正常的人类一样。其实这是不可能的，因为体重会随着身高增加按立方增长，而骨骼肌肉对人体的支撑能力靠的是横截面的大小，是随着身高增加按平方增长的。所以大人国里的人如果和普通人一样的比例就会很容易骨折或者肌肉拉伤。这也是为什么形容腿粗的人是大象腿，因为大象腿和身体的比例比人类要更大。

这种平方或者立方的关系都属于数学中的一类函数：幂函数(Power Function)，而符合幂函数关系的现象在自然中或者生活中比比皆是。比如经济学家就发现最富有的人群中，富人数量和拥有的财富之间的关系就是幂函数的关系。http://www2.physics.umd.edu/~yakovenk/papers/PhysicaA-299-213-2001.pdf 可惜的是，这个幂次是一个负数。

学习数学的小朋友们有时候会混淆幂函数和指数函数：

幂函数： 𝒫(𝓍)=𝓍ᴾ

指数函数: 𝐸(𝓍)=𝒶ˣ

它们两个的自变量𝓍所在的位置不同，一个在基数上一个在指数上，通常情况下指数函数的增长或者衰减比幂函数会更快。结合前面刚刚说过的例子，如果富豪分布是按照指数衰减，马斯克、贝佐斯等等根本就不会出现。

最后回到最开始的数学竞赛题目，图中的大三角形，左图中非阴影部分的小三角形，右图中阴影部分的小三角形是三个相似三角形，它们的面积和高度的平方成正比。所以左图的阴影部分面积按比例可以写成 Ꮒ²-11²，右图的阴影部分面积按比例则可以写成 (Ꮒ-5)²。令二者相等，再求解一元二次方程，可以得出 Ꮒ=14.6，答案是A。

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从地球磁场北极位置的变化说起

图片来源：wikipedia/维基百科

地球的几何北极位置是固定的，就是地表地球自转轴所在的一端。然而，地球的磁场北极却是不断变化的。从维基百科上的路线图可以看出，1600年到1900年间地磁北极一路彷徨，1900年之后却好像一下子找到了人生的目标，一路向北。那么问题来了：1、地球为什么在自转(spin)？2、地球为什么有磁场？3、磁场北极为什么会变化？顺便问一下，地球为什么要绕着太阳转(公转 rotation)？再顺便问一下，为什么南极比北极冷？再再顺便问一下，为什么南极没有熊？

地球的自转是在其形成的过程中产生的。地球是宇宙尘埃和氢原子由于万有引力而逐渐聚拢沉积而产生的。这一过程中每一部分之间的旋转都是随机的，大多正反可以相互抵消，但残存的微小净转动随着体积不断缩小而逐渐加速，就像花样滑冰运动员抱拢双臂就会越转越快一样。用物理学中的专业术语来说，叫角动量守恒。不光是地球，目前人类观测到的所有天体都在自转。地球的自转带来了白天和黑夜的周期变化。自从人类在1960年代发明了原子钟可以进行精确测量以来，地球的自转一直在加速，也就是说每一天的长度在逐渐变短。

地球的内核是温度高达4000-6000摄氏度的熔融态的铁和镍。外凉内热的温差使得这些液态金属形成对流，在地球自转带来的地转偏向力作用下产生螺旋环流对微小磁场形成自激发电流和磁场。这就是所谓的地球发电机理论，也是地球有磁场的原因。初中物理还没有完全还给老师的同学应该记得地转偏向力有一个学名叫科里奥利作用。一些像我一样好学的小朋友也许会问，金属熔化了也还是电中性的，为什么流动会产生电流和磁场。其实并不是所有的熔融态金属流动都会形成自激发电流和磁场，只有铁、钴、镍等铁磁性金属才会与微小的磁场之间形成正反馈。所以并不是每个有熔融态金属内核的星球都是有磁场的。地球的磁场有效地防止了太阳风和其它宇宙电离物质接近地球，所以磁场的存在可以说是地球上能够存在生物的重要条件之一。我博士期间研究受控核聚变的托卡马克装置正是利用磁场来约束带电粒子。

由于内核的熔融态铁和镍���流动有一定的随机性，而且时不时会出现湍流，地球的磁场方向也会不停地变化，甚至会极性反转。据信最近一次地磁反转是在80万年以前。

至于地球为什么要绕着太阳转，是因为地球是被太阳捕获的。地球本来是以大爆炸时获得的初始速度沿着自己的方向飘荡的，直到有一天一不小心靠近了太阳，万有引力形成的向心力，使地球无法挣脱束缚，就只好绕着太阳转了。由于向心力是需要和运动速度相垂直的，如果一开始地球是正对着太阳撞过去，就成为太阳的一部分了。其实太阳系也是被银河系捕获的，而银河系是被所在的星系团捕获的。地球的公转加上自转轴的倾斜带来一年四季，也造成了南北半球相反的季节。

可能出乎许多人的意料，南极洲是全球平均海拔最高的大陆，达到了2300米。位于第二位的是拥有世界最高峰珠穆朗玛峰的亚洲，其平均海拔还不到900米。与之不同的是，北极地区三分之二的面积都在海平面附近。由于地表附近的温度随着海拔上升而下降，南极远比北极严寒得多。北极的年平均气温大约摄氏零下二十度左右，而南极则在零下四十度以下。说到这里和我一样严谨的小同学可能会跳出来问，为什么说北极的温度用了摄氏，而南极却只说零下四十度以下？哈哈，因为摄氏和华氏的零下四十度是一样的啊。不信的话，你算算看。

最后说说南极为什么没有熊。话说这是2006年中央、国家机关公务员考试的一道题。如果不相信，可以看看当年的新闻https://news.sina.cn/sa/2005-11-30/detail-ikkntiam5221775.d.html。其实无论南极北极，其严寒的气候都不适合物种的形成。两极的动物都是从其它大陆迁徙过去的。北极熊是由从北美欧亚大陆迁徙过去的棕熊演化出来的，而靠游泳迁徙过去的海豹和鱼类则成了北极熊的主要食物。南极大陆由于被海洋与其它大陆完全隔离，除了鱼类基本没有动物可以迁徙过去。唯一的例外是南极企鹅。企鹅不但是游泳高手，还是一种鸟类，据信远古时期的企鹅应该是可以飞翔的。于是原始企鹅就时而飞飞时而游游来到了南极。近些年来由于气候变暖，北极冰层融化，北极熊的生存环境越来越恶劣。曾有人提议把北极熊人为地引入到南极。不过数学模型研究发现，这一行为将给目前没有天敌的南极企鹅带来灭顶之灾，这一提议很快被国际社会所否决。

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