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Áreas de Curvas planas- coordenadas polares Teorema de L´ Hopital

Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0°).

Curva en polares

El área encerrada por la curva r=r(θ) para θ∈[θa,θb] es

Área=12∫θbθar(θ)2dθ

Esta fórmula se obtiene de considerar una partición del intervalo [θa,θb], y en cada subregión tomar como área aproximada el área de un sector circular: si el subintervalo es [θi−1,θi] el sector aproximante tendrá ángulo igual a Δθi=θi−θi−1 y como radio se tomará un r=r(ci) siendo ci cualquiera del subintervalo [θi−1,θi]; por tanto su área es r(ci)Δθi/2; sumando todas estas áreas y haciendo tender la norma de la partición a cero obtendremos la expresión anterior.

Regla de L'Hôpital

Si y son 2 funciones continuas tal que

La regla de L'Hôpital nos dice que

Para poder aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma ,

y tener una de las siguientes indeterminaciones

A continuación unos ejercicios resueltos  para poder entender de manera más clara

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Investigación de Calculo Integral Sucesiones

Una sucesión es una agrupación de elementos (generalmente números) los cuales se los denomina términos, dispuestos uno detrás de otro y con un cierto orden. De manera general se suelen representar de la siguiente forma:  a1, a2, a3.

donde:

a1, a2, a3, ... son los términos de la sucesión.

El subíndice de cada término nos indica su posición dentro de la sucesión.

anrecibe el nombre de término general. Está formado por una expresión algebraica que permite obtener cualquier término a partir de su posición.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos duplicando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

Notación

Las secuencias también usan la misma notación que los conjuntos:

se enumera cada elemento, separados por una coma,

y luego se ponen llaves alrededor de todo.{3, 5, 7, ...}

Los corchetes { } también se conocen como "llaves".

Convergencia y Limite

Una sucesión a(n) es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión a(n) es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a(n) converge a su límite L y se expresa por:

O bien, por a(n)→L.

Ejemplo 1: 

La sucesión a(n)=1/n es convergente a 0. Sus primeros términos son:

 Cada término de la sucesión es menor que el anterior y cada vez se aproxima más a 0. El límite de la sucesión es L=0. Representación de la sucesión (n≤50):

Importante: El límite de una sucesión es único. Es decir, si una sucesión converge, converge a un único punto. Si no existe el límite de la sucesión a(n) ó es infinito, se dice que la sucesión no converge. Nosotros diremos que la sucesión es divergente, aunque algunos reservan este nombre únicamente para las sucesiones que tienden a infinito.

Ejemplo 2: 

La sucesión a(n)=n^2 es divergente. Sus primeros términos son:

Representación de la sucesión (n≤50):

Se observa que la sucesión crece indefinidamente y no tiende a ningún valor finito.

Sucesiones Monótonas

La sucesión de término general   a n =n  es monótona creciente y también estrictamente creciente.

 La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es estrictamente creciente 

 La sucesión de término general   a n =− n 2  es monótona decreciente y es también estrictamente decreciente.

 La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

 La sucesión   a n = (−1) n n  de término general tampoco es monótona. 

 La sucesión   1 2 ,  1 2 ,  1 3 ,  1 4 ,  1 4 ,  1 5 ,  1 6 ,  1 6 ,  1 7 , …  es monótona decreciente, sin embargo no es estrictamente decreciente.

Nota práctica

: En algunos casos, para determinar si una sucesión es

monótona creciente resulta útil probar que   a n+1 − a n ≥0 ∀n∈ℕ  , o en el caso de que la sucesión sea de términos positivos demostrar que se cumple:   a n+1 a n ≥1 ∀n∈ℕ

Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que   a n+1 − a n ≤0 ∀n∈ℕ , o bien, si es de términos positivos, que verifica  a n+1 a n ≤1 ∀n∈ℕ

Sumatoria O Notación Sigma

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumando.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

x es la variable

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

                                                       i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ahora, veamos un ejemplo:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.