infktocap

[infktocap]

Sev

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \\) en el centro del lienzo.

Sea \\(W=\left\{\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ y \\end{array}\right]: \hspace{0.1cm}y\in\mathbb{R}\right\}\subset\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\) la línea vertical que contiene el origen. Sobre \\(W\\) consideramos un conjunto finito de \\(2k+1\\) puntos sobre los cuales dibujamos rectángulos de ancho: $$\left(\frac{\left|j\right|}{4}\cdot\frac{180}{4}\right)+\varepsilon$$ y alto: $$\frac{320}{k},$$ con \\(j=-k,\dots,-1,0,1,\dots,k\\) y \\(\varepsilon>0\\) un número que varía de manera aleatoria.

Cuando \\(k=\hspace{0.1cm}8\\), el índice \\(j\\) toma valores $$j=-8,-7,-6,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8$$ y tenemos los siguientes \\(2k+1=17\\) rectángulos:

En este post, la idea es rotar este \\(W\\) con sus objetos, para esto considerar las rotaciones $$R_{n}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$ con \\(n=1,2,3,\dots\\)

Al momento que la familia \\(R_{n}\\) comienza a rotar a \\(W\\), cada \\(90\\) unidades de rotación \\(W\\) y sus objetos se escalan en \\(\frac{9}{16}=\frac{360}{640}\\) y retornan a su escalamiento original. Para \\(n = 90\\), el anterior ejemplo de \\(W\\) posee la siguiente configuración:

Es importante recalcar que las rotaciones y escalamientos son transformaciones lineales, luego el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}W\\) queda fijo.

La composición final, consiste en considerar \\(k\\) en \\(8,6,4\\) y para cada \\(k\\) la construcción, rotación y escalamiento de rectángulos sobre \\(W\\).

[infktocap]

Push

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \\).

Consideramos una elipse \\(E\\) centrada en el origen de ancho \\(90\\) y alto \\(160\\).

Sea \\(n=1\\), para este valor, consideramos una familia de traslaciones verticales \\(T_{j}\\) definidas como $$T_{j}:\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]\longmapsto\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]+160\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ \sum_{i=1}^{j}\frac{1}{i}\\end{array}\right],$$con \\(j=1,2,\dots,15\\). Con el índice \\(j\\) anterior, se toma la sucesión de rotaciones $$R_{jn}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(jn\right)} & -\sin{\left(jn\right)} \\\\ \sin{\left(jn\right)} & \cos{\left(jn\right)} \\end{array}\right].$$ Entonces, al aplicar dicha sucesión de rotaciones a \\(E\\), obtenemos la familia \\(T_{j-1}\circ R_{jn}(E)\\) que se visualiza de la siguiente forma:

Del anterior gráfico, se asume que \\(T_{0}\\) es la aplicación identidad. De manera inductiva, si \\(n=15\\), la sucesión de elipses es la siguiente

En conclusión, dado \\(n\in\hspace{0.1cm}\mathbb{N}\\) fijo, su correspondiente sucesión \\(T_{j}\\) permite trasladar \\(E\\) hacia abajo. La composición final se da al momento que \\(n\\) toma valores en \\(1,2,3,\dots,\\).

[infktocap]

Sen

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen en su centro.

Sea: $$\left\{P_{1n},P_{2n},P_{3n},P_{4n}\right\}$$

$$=\left\{\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 40\cdot\sin{\left(\frac{1}{20}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 30\cdot\sin{\left(\frac{1}{25}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 20\cdot\sin{\left(\frac{1}{30}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 10\cdot\sin{\left(\frac{1}{35}n\right)} \\end{array}\right]\right\}$$ un conjunto de cuatro puntos en \\(\mathbb{R}^2\\), indexados por \\(n=1,2,3,\dots\\).

Notemos, la segunda coordenada del punto \\(P_{1n}\\) posee un periodo de \\(40\pi<70\pi\\) al comparar con la coordenada de \\(P_{4n}\\). Además, posee una amplitud de \\(40>10\\) al comparar con la amplitud de la coordenada de \\(P_{4n}\\). En conclusión, la segunda coordenada de \\(P_{1n}\\) oscila mas rápido que la segunda coordenada de \\(P_{4n}\\).

Ahora bien, sea \\(T\\) una traslación horizontal de \\(90\\) unidades y \\(T_{\alpha}\\) una traslación vertical de \\(\alpha\\) unidades, donde \\(\alpha\in\left\{-160,-40,40,160\right\}\\). Cuando \\(\alpha = -160\\), tenemos que la sucesión

$$T_{-160}\left(P_{1n}\right)$$

$$T\circ T_{-160}\left(P_{2n}\right)$$

$$T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{3n}\right)$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{4n}\right)$$

nos da el lugar en donde cuatro regiones rectangulares se visualizan en el lienzo de la siguiente forma:

Dado \\(\alpha\\) fijo, la correspondencia

$$T_{\alpha} \longmapsto P_{1n}$$

$$T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{2n}$$

$$T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{3n}$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{4n}$$

permite definir en el lienzo una sucesión de cuatro rectángulos similar a la anterior sucesión. Al recorrer \\(\alpha\\) en el conjunto \\(\left\{-160,-40,40,160\right\}\\) se tiene la composición final:

[infktocap]

Mod

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto.

Sean \\(P=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ 1\\end{smallmatrix}\bigr],\hspace{0.1cm}Q=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\end{smallmatrix}\bigr]\\) dos puntos a los cuales aplicamos la transformación $$T_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right].$$ Obtenemos

$$T_n(P)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+\cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$

$$T_n(Q)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)} -(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\sin{\left(n\right)}\\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right],$$

para \\(n=1,2,3,\dots.\\)

Si consideramos la proyección de \\(T_{n}(P), T_{n}(Q)\\) respecto a la primera y segunda coordenada respectivamente, podemos tomar el punto $$R_n=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right].$$

Mientras \\(n\\) toma valores \\(1,2,3,\dots\\), la expresión \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\) toma valores en función de \\(n\\) de la siguiente forma: $$1,2,3,4,5,6,7,8,\dots\longrightarrow 1,2,3,0,1,2,3,0,\dots$$

Así pues, para cada valor de \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\), el punto \\(R_{n}\\) posee una configuración distinta:

Si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}1\\), tenemos que \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

Si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}2\\), tenemos que \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

De manera similar, si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}3\\), tenemos:

La composición final considera la igualdad \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}0\\), entonces \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

[infktocap]

Ellipse

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto.

Sean \\(P=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ (-1)^n\\end{smallmatrix}\bigr],\hspace{0.1cm}Q=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\\) dos puntos a los cuales aplicamos la transformación $$T_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} & -\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} & \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right].$$ Obtenemos $$T_n(P)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}-(-1)^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}+\cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right],$$

$$T_n(Q)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}\\end{array}\right],$$

para \\(n=1,2,3,\dots.\\)

Si consideramos la proyección de \\(T_{n}(P), T_{n}(Q)\\) respecto a la primera y segunda coordenada respectivamente, podemos tomar el punto $$R_n=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}-(-1)^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}\\end{array}\right].$$

Ahora bien, sabemos que el punto $$R=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right]$$ está asociado a una circunferencia, si bien \\(R_{n}\\) es similar a \\(R\\), cuando \\(n\\) es impar se ve que la primera coordenada de \\(R_{n}\\) aumenta mientras que la segunda coordenada mantiene su curso con respecto a \\(R\\), en definitiva la sucesión \\(100\cdot R_{n}\\) es:

Por otro lado, cuando \\(n\\) es par obtenemos:

Al considerar \\(n=1,2,3,\dots,\\) la sucesión \\(100\cdot R_{n}\\) es:

La composición final se basa en considerar las sucesiones:

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ - 180 \\end{array}\right]+80\cdot R_{n}$$

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ - 90 \\end{array}\right]+90\cdot R_{n}$$

$$100\cdot R_{n}$$

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 90 \\end{array}\right]+110\cdot R_{n}$$

[infktocap]

Letter

Considerar un lienzo de \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto que contiene el origen \\(P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\). Movilizamos el punto \\(P_0\\) hacia arriba con la expresión $$P_{n}=P_{n-1}+v,$$

donde \\(v\\) es un vector velocidad dado por \\(v=\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right]\\) y \\(n=1,2,3,\dots\\).

Una vez que el índice \\(n\\) verifica \\(|P_{n}-P_0|\geq \alpha\\), con \\(\alpha\\) algún valor positivo, el vector velocidad \\(v\\) cambia a $$v=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\beta m} & -\sin{\beta m} \\\\ \sin{\beta m} & \cos{\beta m} \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\end{array}\right],$$con un \\(\beta>0\\) y un índice \\(m\\) que aumenta toda vez que \\(|P_{n}-P_0|\geq \alpha\\). De hecho, podemos visualizar

La composición final, se basa en considerar tres objetos con puntos iniciales $$P_0\hspace{0.1cm}\in\left\{\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ -180 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} -90 \\\\ 0 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} -45 \\\\ 90 \\end{array}\right]\right\},$$ y valores correspondientes

$$\alpha\hspace{0.1cm}\in\left\{360,360,120\right\},$$

$$\beta\hspace{0.1cm}\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8}\right\},$$es decir

[infktocap]

Rescalamiento

Considerar un lienzo de \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto y el origen \\(P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\) que asumimos está en nuestro lienzo. A partir de la expresión $$P_{n}=P_{n-1}+T\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$ con \\(n=1,2,3,\dots\\) podemos generar la sucesión $$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 180 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\dots$$ con \\(T\\) intercalando su valor en \\(\left[\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\right]\\) ó \\(\left[\\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{array}\right]\\) toda vez que \\(|P_n|\geq 180\\).

Ahora bien, un rectángulo \\(R_n\\) lo podemos definir a partir de los siguientes vértices:

$$v_{1_n}=P_{n},\hspace{3cm}v_{2_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ 0 \\end{array}\right],$$

$$v_{3_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ -20 \\end{array}\right],\hspace{3cm}v_{4_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ -20 \\end{array}\right],$$

Para \\(n=1\\), tenemos \\(R_{1}\\):

Si consideramos la transformación \\(T=\left[\\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} \\end{array}\right]\\) y la aplicamos a \\(R_{1}\\) contraemos dicho rectángulo, es decir:

Por otro lado, si consideramos la sucesión de números \\(a_{n}\\):

$$a_{n}\in\hspace{0.1cm}\left\{\frac{1}{255},\frac{2}{255},\dots,\frac{255}{255},\frac{254}{255},\dots,\frac{1}{255},\frac{2}{255}, \dots\right\}$$

y la familia de transformaciones \\(T_{n}=\left[\\begin{array}{cc} a_{n} & 0 \\\\ 0 & a_{n} \\end{array}\right]\\), al aplicarlas a los rectángulos \\(R_{n}\\), obtenemos

Finalmente, con un rectángulo adicional simétrico a \\(R_{n}\\) respecto al origen, se obtiene la composición final.

[infktocap]

Transformación

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto.

Sea \\(P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\), un punto a partir del cual se define las sucesiones: $$P_{n+1}=P_{n}+\left[\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$

$$P_{n+1}=P_{n}+\left[\\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$para \\(n=0,1,2,\dots \\).

Varios ejemplos de estos puntos son \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 1\\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ -1\\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 2\\end{smallmatrix}\bigr]\\), etc. Los anteriores puntos nos permiten crear:

De hecho, las transformaciones \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{smallmatrix}\bigr]\\), están asociadas con movimientos hacia arriba y abajo respectivamente.

Si consideramos la rotación \\(T=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\frac{\pi}{4}} & -\sin{\frac{\pi}{4}} \\\\ \sin{\frac{\pi}{4}} & \cos{\frac{\pi}{4}} \\end{array}\right]\\) y se aplica a los puntos \\(P_{n}\\), obtenemos la sucesión \\(T(P_{n})\\) que se visualiza así:

La transformación \\(T\\) se define a partir del ángulo fijo \\(\frac{\pi}{4}\\), por otro lado, la familia \\(T_n\\) de transformaciones: $$T_{n}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{(n+1)} & -\sin{(n+1)} \\\\ \sin{(n+1)} & \cos{(n+1)} \\end{array}\right]$$

permite conseguir puntos definidos por:

$$P'_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{(n+1)} & -\sin{(n+1)} \\\\ \sin{(n+1)} & \cos{(n+1)} \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 45 \\\\ n \\end{array}\right]=T_{n}(P_{n}),$$

que generan la composición final.

[infktocap]

Cercano

En un camino \\(\gamma\\) consideramos una sucesión de puntos \\(P_0,P_1,\dots,P_n\\). Consideramos la distancia entre puntos consecutivos \\(d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)\\) y sumamos estas \\(n\\) distancias para formar un número \\(s_n\\). Incrementamos \\(n\\) de manera arbitraria, luego \\(s_n\\) es una “suma infinita” de números \\(d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)\\). En esta publicación asocio un grafico al hecho de que $$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n=\sum_{i=1}^{\infty} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)  = 1.$$

Un motivo de este hecho es que, se parte de puntos \\(P_i\\) que tienen la forma \\(\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^i,0\right)\in \mathbb{R}^2\\) y el número \\( \left(\frac{1}{2}\right)^i \\) se aproxima a cero cuando \\(i\\) aumenta, en este contexto cuando aumentamos arbitrariamente la cantidad de puntos  \\(P_0,P_1,\dots,P_n\\) en el camino \\(\gamma\\).

Asignación

A continuación asigno un gráfico a un hecho concreto, con el fin de representar $$ \sum_{i=1}^{\infty} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)  = 1 .$$

--- 

El camino \\(\gamma\\) de \\(P=(0,0)\\) a \\(Q=(1,0)\in \mathbb{R}^2\\).

--- 

La sucesión de puntos \\(P_i= \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^i,0\right) \in \hspace{0.1cm} \gamma\\). Notar que \\(P_0=(0,0)=P\\), \\(P_1=\left(\frac{1}{2},0\right)\\),  \\(P_2=\left(\frac{3}{4},0\right),\hspace{0.1cm}\dots\\).

--- 

Consideramos los puntos  \\(P_0,P_1,\dots,P_n\\) en \\(\gamma\\). Calculamos las distancias entre puntos consecutivos \\(d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i) = \max{ \left\lbrace \left| \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{i-1}  \right)- \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{i}  \right) \right| ,0 \right\rbrace } =\left| \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{i-1}  \right)- \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{i}  \right) \right|=\left| -\left(\frac{1}{2} \right)^{i-1} + \left(\frac{1}{2} \right)^{i} \right|\\), luego la suma de estas \\(n\\) distancias es $$s_n=\sum_{i=1}^{n} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i).$$ Es importante notar que \\( \sum_{i=1}^{n} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i) = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\\), es decir  $$s_n= 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n.$$

--- 

Sea \\(\varepsilon>0\\), por mas que \\(\varepsilon\\) sea arbitrariamente pequeño, siempre habrá un \\(n_0\in \mathbb{N}\\) tal que \\( \left( \frac{1}{2} \right)^{n_0}<\hspace{0.1cm}\varepsilon \\) y para cualquier índice \\(n\\) mayor a \\(n_0\\), tenemos que \\( \left( \frac{1}{2} \right)^{n} < \left( \frac{1}{2} \right)^{n_0} \\). Cabe recalcar que la expresión \\(|1-s_n|<\varepsilon\\) dice el número \\(s_n\\) está en la bola de centro \\(1\\) radio \\(\varepsilon\\), además  \\(|1-s_n|=\left| 1- \left( 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \right) \right|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\\).

--- 

Considerando lo anterior, la igualdad  \\( \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \left| 1- \left( 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \right) \right|= |1-s_n|\\) nos permite ver que \\(|1-s_{n_0}|<\varepsilon\\) y para cualquier índice \\(n\geq n_0\\) tenemos que \\(|1-s_n|<\varepsilon\\), esto es, los números \\(s_n\\) se acercan arbitrariamente al número \\(1\\). Lo que nos dice que \\(\lim_{ n \rightarrow \infty }s_n =1\\) o equivalentemente $$ \sum_{i=1}^{\infty} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)  = 1,$$es decir, una “suma infinita” de números da como resultado el número \\(1\\).

[infktocap]

Cercano

La primera figura \\(G_1\\) indica puntos acercándose a un punto que pertenece a un conjunto pequeño. La última figura  \\(G_3\\) indica puntos acercándose a un punto que pertenece a un conjunto aún mas pequeño.

[infktocap]

Bola

La bola de centro \\(P\in X\\) radio \\(\varepsilon\\), es el conjunto de puntos en \\(X\\) cuya distancia \\(d_X\\) hacia \\(P\\) es menor que  \\(\varepsilon\\).

[infktocap]

Distancia Máximo

Sea \\(\gamma\\) un camino rectilíneo en \\(\mathbb{R}^2\\) de \\(P=(0,0)\\) a \\(Q=(4,0)\\) pasando por \\(R=(4,3)\\). El punto \\(Q\\) está alejado de \\(P\\) con un valor de distancia \\(4\\). En esta publicación asocio un gráfico al hecho de que no hay punto \\(R\\) en \\(\gamma\\) que esté tan alejado de \\(P\\) como para superar el valor \\(4\\) en distancia. Es decir, asocio un gráfica al hecho de que no hay punto \\(R\\) en \\(\gamma\\) que verifique $$ d_{\textrm{max}}\left( P,Q  \right) < d_{\textrm{max}}\left( P,R  \right). $$

Un motivo de este acontecimiento es la forma en como se calcula la distancia en el espacio métrico \\( \left(\mathbb{R}^2, d_{\textrm{max}}\right)  \\). De hecho, dado \\(R=(x,y)\\) en \\(\gamma\\) tenemos que la distancia de \\(P\\) a \\(R\\) se calcula de la siguiente manera: $$d_{\textrm{max}}\left( P,R   \right)= d_{\textrm{max}}\left( (0,0),\hspace{0.1cm}(x,y)   \right)=  \max\left\lbrace |0-x|,|0-y| \right\rbrace=  \max\left\lbrace x,y \right\rbrace  .$$

Asignación

En esta sección asigno una gráfica a un hecho concreto con el fin de representar el hecho de que: no hay punto \\(R\\) en \\(\gamma\\) que verifique $$ d_{\textrm{max}}\left( P,Q  \right) < d_{\textrm{max}}\left( P,R  \right). $$

--- 

El camino \\(\gamma\\) en \\(\mathbb{R}^2\\) con punto inicial \\(P=(0,0)\\) y punto final \\(Q=(4,0)\\).

--- 

Consideramos la distancia \\(d_{\textrm{max}}(\cdot,\cdot)\\) calculada de \\(P\\) a \\(Q\\), es decir consideramos $$ d_{\textrm{max}}(P,Q) =\hspace{0.1cm}4.$$

--- 

Consideramos el punto \\(R=(4,2)\\) y calculamos la distancia  \\(d_{\textrm{max}}(\cdot,\cdot)\\) de \\(P\\) a \\(R\\). Al calcular notamos que $$ d_{\textrm{max}}\left( P,R   \right) =d_{\textrm{max}}\left( (0,0),\hspace{0.1cm}(4,2)   \right) = \max\left\lbrace |0-4|,|0-2| \right\rbrace = \max\left\lbrace 4,2 \right\rbrace = 4.$$

--- 

En este espacio métrico \\(\left(\mathbb{R}^2,d_{\textrm{max}}\right)\\) incluso el punto \\(R=(4,3)\\) que aparentemente está lejos de \\(P\\) en realidad cumple  \\(d_{\textrm{max}}\left( P,R   \right)=4.\\)

--- 

Dado que cualquier punto \\(R\\) en \\(\gamma\\) tiene la forma \\(R=(x,y)\\) con $$0 < x \leq 4,\hspace{0.3cm}0\leq y < 3,\hspace{0.3cm}y<x.$$ Se tiene que $$ d_{\textrm{max}}\left( P,R   \right)= d_{\textrm{max}}\left( (0,0),\hspace{0.1cm}(x,y)   \right)=  \max\left\lbrace |0-x|,|0-y| \right\rbrace=  \max\left\lbrace x,y \right\rbrace    =x. $$

--- 

De la desigualdad \\(0<x\leq 4\\) y del hecho que \\(4= d_{\textrm{max}}\left( P,Q   \right)\\), se tiene que \\(d_{\textrm{max}}\left( P,R   \right) \leq d_{\textrm{max}}\left( P,Q  \right)\\), para todo \\(R\\) en \\(\gamma\\). En otras palabras, no hay punto \\(R\\) en \\(\gamma\\) que verifique $$ d_{\textrm{max}}\left( P,Q  \right) < d_{\textrm{max}}\left( P,R  \right). $$

[infktocap]

Máximo

La primera figura \\(G_1\\) se asocia con calcular la distancia desde el origen a un primer punto elegido, la última \\(G_4\\) se asocia con calcular la distancia desde el origen a un cuarto punto elegido mas alejado.

[infktocap]

Continuidad

La continuidad de una función \\(P = P(t)\\), se asocia con los movimientos cercanos para la variable independiente \\(t\\) siempre que \\(P\\) realice movimientos cercanos.