#슈톨츠-체사로 정리

[goodmath]

슈톨츠-체사로 정리 (Stolz–Cesàro theorem)

다음은 [구글에서 찾은 pdf 파일][pdf][^1]에 있는 정리다. 잘 알려진 형태의 “슈톨츠-체사로 정리”는 영문 위키의 “[Stolz–Cesàro theorem][sct]”에서 볼 수 있고, 이는 아래의 정리와 동치다. 특히, 아래의 정리는 ‘[가비의 리][kabi]’를 일반화 시킨 것으로 볼 수도 있다. ------------------ 임의의 실수열 (*a**n*)과 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty$ 을 만족하는 양의 실수열 (*b**n*)에 대하여 만약 수열 (*a**n*/*b**n*)이 수렴하면, 다음이 성립한다. $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_n }{ b_n } \tag{1} \label{1}$$ ------------------ **사실 위 정리에 대한 ‘놀라운’ 증명 아이디어를 “[Todd and Vishal's blog][tvb]”에서 찾게 되어 본 포스트를 작성하게 되었다.** 증명은 다음과 같다. *ε* > 0 이라 하자. *L* := lim *a**n*/*b**n* 이라 하면 어떤 자연수 *N* > 1 이 존재하여 다음이 성립한다. $$n \geq N \implies \left| \frac{ a_n }{ b_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6} $$ 즉, ∀*n* ≥ *N* 에 대하여 *a**n*/*b**n* ∈ (*L*−*ε*/6, *L*+*ε*/6) =: *V**ε*/6(*L*) 이다. **따라서 앞서 포스팅한 ‘[가비의 리][kabi]’에 있는 정리를 귀납적으로 적용하면 다음이 성립한다.**[^2] $$n \geq N \implies \frac{ a_{N} + a_{N+1} + \cdots + a_{n} }{ b_{N} + b_{N+1} + \cdots + b_{n} } \in V_{ \varepsilon /6}( L )$$ $A_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$, $B_n := \sum_{k=1}^{n} b_k$ 라 하면 위 명제는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n \geq N \implies \frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } \in V_{ \varepsilon / 6}( L ) \tag{2} \label{2}$$ 한편, $\lim B_n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty$ 이므로 *n*이 충분히 크면 다음과 같이 근사할 수 있다. $$\frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } = \cfrac{ \cfrac{ A_n }{ B_n } - \cfrac{ A_{ N-1 } }{ B_n } }{ 1 - \cfrac{ B_{ N-1 } }{ B_n } } \approx \frac{ A_n }{ B_n }$$ 따라서 *n*가 충분히 크면 *A**n*/*B**n* ∈ *V**ε*/6(*L*) 이므로 증명은 끝난다. 근사 과정에 대해서 좀 더 엄밀한 증명을 할 수도 있다. 사실 이를 위해 위에서 일부러 *ε*대신에 *ε*/6을 사용하였다. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자. 그리고 ***L*≠0** 이라 가정하자. - *C**n* := *A**n*/*B**n* - *γ**n* := *A**N*-1/*B**n* - *δ**n* := *B**N*-1/*B**n* lim *B**n* = +∞ 이므로 lim *γ**n* = lim *δ**n* = 0 이다. 따라서 어떤 자연수 *K*1, *K*2가 존재하여 다음을 만족한다. $$n \geq K_1 \implies | \gamma_n | < \frac{ \varepsilon }{3} \tag{3} \label{3}$$ $$n \geq K_2 \implies | \delta_n | < \frac{ \varepsilon }{ 3 | L | } \tag{4} \label{4}$$ 또한, lim *δ**n* = 0 에 대하여 *ε*=1 일때, 적당한 자연수 *K*3가 존재하여 다음을 만족한다. $$n \geq K_3 \implies | \delta_n | < 1 \tag{5} \label{5}$$ 그리고 명제 $(\ref{2})$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n \geq N \implies \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6} \tag{6} \label{6}$$ 이제 모든 준비가 끝났다. *n* ≥ *K* := max{*N*, *K*1, *K*2, *K*3} 라 하자. |*C**n*���*L*| = |*C**n* −*γ**n* −*L* +*γ**n*| 에 [삼각부등식][ti]을 적용하면 다음이 성립한다. |*C**n*−*L*| ≤ |*C**n* −*γ**n* −*L*| + |*γ**n*| 윗식의 우변을 변형하고 다시 삼각부등식을 적용한 후에 명제 $(\ref{5})$, $(\ref{6})$, $(\ref{4})$, $(\ref{3})$을 적용하면 다음이 성립한다. $$\begin{aligned} & | C_n - \gamma_n - L | + | \gamma_n | \\\\ & = \left| (1 - \delta_n ) \left( \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right) - \delta_n L \right| + | \gamma_n | \\\\ & \leq (1 + | \delta_n | ) \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| + | \delta_n | | L | + | \gamma_n | \\\\ & < 2 \frac{ \varepsilon }{6} + \frac{ \varepsilon }{3 | L | } | L | + \frac{ \varepsilon }{3} = \varepsilon \end{aligned}$$ 그리고 *L*=0 일때는 명제 $(\ref{4})$를 지우고, 위의 마지막 부등식의 우변([RHS: right-hand side][rhs])을 다음으로 바꾸면 충분하다. $$2 \frac{ \varepsilon }{6} + 1 \cdot 0 + \frac{ \varepsilon }{3} < \varepsilon$$ 다시말해 *n* ≥ *K* 이면, |*C**n*−*L*| < *ε* 이다. 즉, $$n \geq K \implies \left| \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } - L \right| < \varepsilon$$ 그러므로 최종적인 식 $(\ref{1})$이 성립한다. ∎ [^1]: 미국 캔자스(Kansas) 주립대학 수학과의 ‘[Gabriel Nagy][nagy]’ 교수가 작성한 것 같다. [^2]: 바로 이것이 그 놀라운 아이디어다. [tvb]: http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/05/08/stolz-cesaro-theorem/ [sct]: https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem [pdf]: http://www.math.ksu.edu/~nagy/snippets/stolz-cesaro.pdf [nagy]: http://www.math.ksu.edu/~nagy/ [kabi]: http://goodmath.tumblr.com/post/77168968473 [ti]: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality [rhs]: http://en.wikipedia.org/wiki/Sides_of_an_equation