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안녕하세요, 학문의 즐거움 작도문제 검색하다 들어오게 되었습니다. 혹시 아직도 tumblr 운영하시는지요? 아니면 질문받으시는지요?

오랜만에 텀블러에 들어와서, 너무 늦은 답장을 드립니다. 현재는 티스토리 블���그를 운영합니다. 질문은 아래 블로그를 통해 해주시면 받을 수 있습니다.

https://xandy.tistory.com/

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콘텐츠 복구 및 백업

2014년에 마크다운 형식으로 작성한 글이 현 시점에는 일부 깨졌고,

flickr로 임베딩했던 이미지도 더 이상 무료로 사용할 수가 없어,

티스토리 블로그 'xandy'로 지금까지 직접 작성한 콘텐츠들을 모두 복구하여 옮김.

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삼각형의 내접원 작도

정형적 방법

삼각형에서 두 개의 각의 이등분선을 작도하여, 내심을 찾은 후 내심에서 한 변에 수선의 발을 내리고, 내심을 중심으로 하고 수선의 발을 지나는 원을 작도한다.

비정형적 방법

도입

iPhone Appstore에 Euclidea라는 작도 게임 앱이 출시 된 것이 정확히 언제인지는 모르겠지만, 2014년의 가을 정도로 기억하고 있다. 그 전에는 Euclid라는 작도 게임 앱이 있었지만 미션의 수는 물론이고 앱의 완성도와 게임성에서 Euclidea는 작도 게임의 완전체였다. 이 앱을 만든 HORIS INTERNATIONAL LIMITED은 그 후로도 평면작도 게임 Pythagorea와 Pythagorea 60° 그리고 입체작도 게임 XSection 또한, 숫자퍼즐 Tchisla: Number Puzzle까지 다양한 수학 게임을 만들어 내고 있다. 각각의 게임이 모두 참신하고, 수학적이면서 게임성이 뛰어나다. 여기서는 Euclidea 그 중에서도 내접원을 작도해야하는 미션에 주목한다. 아래는 차례대로 구버전과 신버전이다.

차이점은 업데이트된 다양한 기능이 있다는 것이지만, 그 중에서도 독창적인 것은 Explore 모드이다. 탐구모드에서는 작도해야 할 대상을 미리 보면서 작도할 수 있다. 이는 파푸스의 분석법이 잘 녹아들어 있다고 볼 수 있고, 실제로도 미션을 해결하는 데 도움이 된다.

전개

Euclidea에는 독특한 규칙이 있는데, 자와 컴퍼스를 최소한으로 사용해야 한다는 것이다. 이것은 작도 방법에 지대한 영향을 끼치는데, 대체로 기존의 정형적인 작도방법이 통하지 않기 때문이다. 삼각형의 외접원의 경우에는 정형적인 방법이 곧 미션을 해결하는 방법이었다. 그러나 내접원의 경우 그렇지 않았다. 다음은 최종 미션성공까지의 도전기록이다.

여기서 첫 번째 도전 옆에 4L은 각의 이등분선 2회, 수선 1회, 원 1회 총 4회로 작도했다는 의미이다. 아래와 같다.

12E는 이를 실제로 눈금 없는 자와 컴퍼스로만 작도하는 데에는 12회가 걸린다는 의미이다. 무려 6개월 정도는 전혀 발전이 없었다. 물론, 이 게임만 하고 살지는 않았지만 그렇다해도 대단히 어려움에는 틀림없다. 첫 번째 발전이 있었던 네 번째 도전은 다음과 같다.

여기서는 각의 이등분선을 작도하는데 필요한 컴퍼스를 1회 줄였다. 그리고 한 달 후에 거친 아이디어가 떠올랐다.

여러번의 시도1 끝에 지쳤는지, 그저 그 동안 하지 않은 방법을 찾고자 함이었는지 모르겠다. 다른 미션에서 변화할 수 있는 임의의 점에서 시작하여 작도한 후 손도구를 이용하여 변화 속에서 고정되는 것 또는 일정한 패턴을 그리는 것을 찾는 것은 큰 힌트가 되었다. 내접원의 작도에서는 정형화�� 작도방법 즉, 각의 이등분선에만 너무 집착했었다. 여기서 벗어나 도전 4의 시작 즉, 한 꼭짓점을 중심으로 하고 다른 꼭짓점을 지나는 원을 그리는 대신에 변 위에 임의의 점을 지나는 원을 그렸다. 그리고나선 비슷한 패턴으로 두 개의 원을 더 그렸고, 손도구를 이용하여 빨간 점을 움직였다. 놀라운 발견을 했다. 밑변의 두 점이 너무나 일정한 거리를 유지하는 것 아니겠는가! 당장 수직이등분선을 작도하고, 각의 이등분선을 작도한 후 외접원을 얻을 수 있었다. 그러나 이러한 방법은 엄밀한 수학적 증명이 필요하다. 결국 아직 미션은 게임에서도 수학에서도 끝나지 않았다.

며칠 후에 위와 같이 임의의 점을 제거하는 아이디어로 게임상의 미션은 해결할 수 있었다. 그러나 여전히 수학적으로 미션은 해결되지 않았다.

결론

새로운 일을 시작한 이래 잉여시간을 누릴 수 없었다. 이제는 좀 적응이 되어 바쁜 와중에도 틈을 내서 여유를 만들고 있다. 오늘은 점심시간에 다시 손도구를 이용해 변화하는 원을 무심히 바라보았다. 등속운동이었다. 세 원의 반지름은 연결되어 작도되었기 때문에 반지름의 길이가 같은 속력으로 움직인다. 다음을 보자.

위의 그림에는 삼각형과 그 내접원 그리고 각 꼭짓점을 중심으로하고, 인접한 변의 내접원과의 교점을 지나는 원이 있다. 이 때, 두꺼운 점은 떨어지지 않고, 밑변의 점을 떨어질 수 있다고 보자. 빨간 점을 일정한 속력으로 아래로 당긴다면, 밑변의 두 원은 같은 속력으로 멀어진다. 따라서, 다음과 같이 된다.

밑변의 두 원은 같은 속력으로 멀어지면서 변과 함께 두 교점을 만든다. 이때, 두 교점의 수직이등분선은 내접원의 중심을 우아하게 지난다.

도전기록에는 같은 방법은 최근 것만 기록되므로 같은 시도를 100번을 한다 해도 가장 최근의 1번만 기록된다. ↩︎

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정말 우아한 증명이다. 단순히 우리말로 옮겨 보면 다음과 같다.

√2가 유리수라고 가정하자. 그러면 m√2가 자연수가 되는 최소 자연수 m이 존재한다. 그런데 이때, m(√2−1) = m√2−m 은 m 보다 작은 자연수이면서 m(√2−1)√2 = 2m−m√2 도 자연수이므로 m의 최소성에 모순된다. 따라서 √2는 무리수이다.

A simple and elegant proof for the irrationality of the square root of two, easily generalizable to integers other than two.

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중국인의 나머지 정리에 대한 추상화

[정수론][]([Number theory][nt])에서 유명한 정리인 ‘[중국인의 나머지 정리][]([Chinese remainder theorem][crt])’를 [추상대수학][]([Abstract algebra][aa])의 대수적 구조인 [군][]([Group][g])과 [환][]([Ring][r])으로 일반화 할 수 있다. 아래에서 그 공통 성질이 눈에 띄도록 서술했다. 1. 중국인의 나머지 정리 양의 정수 *m* 과 *n* 에 대하여 gcd(*m*, *n*) = 1 이면, 연립 선형합동식 *x* ≡ *a* (mod *m*), *x* ≡ *b* (mod *n*) 은 법 *mn* 에 대하여 유일한 공통해를 갖는다. 2. 환으로의 추상화 곱셈항등원 1≠0[^1] 을 가진 환 *R* 의 [아이디얼][]([Ideal][i]) *I* 와 *J* 에 대하여 *R* = *I* + *J* 이면, *x* + *I* = *a* + *I* 와 *x* + *J* = *b* + *J* 를 만족하는 *R* 의 덧셈 부분군([Subgroup][sg]) *I* ∩ *J* 에 대한 유일한 덧셈 잉여류[^2]([Coset][cs]) *x* + *I* ∩ *J* 가 존재한다. 특히, *R*/(*I* ∩ *J*) ≅ *R*/*I* × *R*/*J* 이다. 3. 군으로의 추상화 군 *G* 의 [정규부분군][]([Normal subgroup][ns]) *M* 과 *N* 에 대하여 *G* = *MN* 이면, *xM* = *aM* 과 *xN* = *bN* 을 만족하는 *G* 의 부분군 *M* ∩ *N* 에 대한 유일한 잉여류[^3] *x*(*M* ∩ *N*) 이 존재한다. 특히, *G*/(*M* ∩ *N*) ≅ *G*/*M* × *G*/*N* 이다. ------------------------------- 이제 위의 명제를 증명하자. 특히, 세 증명의 공통점에 주목하자. 1. gcd(*m*, *n*)[^4] = 1 이므로 1 = *ms* + *nt* 인 정수 *s* 와 *t* 가 존재한다. ***x* ≡ *a*(*nt*) + *b*(*ms*)** (mod *mn*) 을 만족하는 정수 *x* 는 분명히 공통해가 된다. 만약 어떤 정수 *y* 도 공통해가 된다면 *y* ≡ *a* (mod *m*), *y* ≡ *b* (mod *n*) 이므로 *x* ≡ *y* (mod *m*), *x* ≡ *y* (mod *n*) 이다. 따라서 *m*|(*x* − *y*), *n*|(*x* − *y*) 이다. 그러므로 gcd(*m*, *n*) = 1 에 의하여 *mn*|(*x* − *y*) 즉, *x* ≡ *y* (mod *mn*) 이다. 2. 1 ∈ *R* = *I* + *J* 이므로 1 = *i* + *j* 인 *i* ∈ *I* 와 *j* ∈ *J* 가 존재한다. ***x* = *aj* + *bi*** 라 하면, *x* − *a* = *aj* + *bi* − *a* = *a*(1 − *i*) + *bi* − *a* = (*b* − *a*)*i* ∈ *I* 이고 *x* − *b* = *aj* + *bi* − *b* = *aj* + *b*(*1* − *i*) − *b* = (*a* − *b*)*j* ∈ *J* 이므로 *x* + *I* = *a* + *I* 이고 *x* + *J* = *b* + *J* 이다. 만약 *y* + *I* = *a* + *I* 이고 *y* + *J* = *b* + *J* 이면, *x* + *I* = *y* + *I* 이고 *x* + *J* = *y* + *J* 이므로 *x* − *y* ∈ *I* 이고 *x* − *y* ∈ *J* 이다. 즉, *x* − *y* ∈ *I* ∩ *J* 이므로 *x* + *I* ∩ *J* = *y* + *I* ∩ *J* 이다. 그리고 ∀*a* ∈ *R* 에 대하여 *φ*(*a*) = (*a* + *I*, *a* + *J*) 로 정의된 함수 *φ* : *R* → *R*/*I* × *R*/*J* 는 잘 정의된([Well-defined][wd]) [준동형사상][]([Homomorphism][h])이고 *φ* 의 [핵][]([Kernel][k])[^5] ker *φ* = *I* ∩ *J* 이다. 이에 대한 증명은 생략한다. 그리고 위의 논의에 의해 *φ* 는 [전사][]([Surjective][sf])이므로 환에 대한 제 1 동형정리([First isomorphism theorem][risothm])에 의해 *R*/(*I* ∩ *J*) ≅ *R*/*I* × *R*/*J* 이다. 3. *a*, *b* ∈ *G* = *MN* 이므로 *a* = *m*1*n*1, *b* = *m*2*n*2 인 *m*1, *m*2 ∈ *M* 와 *n*1, *n*2 ∈ *N* 가 존재한다. ***x* = *n*1*m*2** 라 하면,[^6] *a*−1*x* = (*m*1*n*1)−1(*n*1*m*2) = (*n*1−1*m*1−1*n*1)*m*2 ∈ *M* 이고 *b*−1*x* = (*m*2*n*2)−1(*n*1*m*2) = *n*2−1(*m*2−1*n*1*m*2) ∈ *N* 이므로 *xM* = *aM*, *xN* = *bN* 이다. 만약 *yM* = *aM* 이고 *yN* = *bN* 이면, *xM* = *yM* 과 *xN* = *yN* 이므로 *x*−1*y* ∈ *M* 이고 *x*−1*y* ∈ *N* 이다. 즉, *x*−1*y* ∈ *M* ∩ *N* 이므로 *x*(*M* ∩ *N*) = *y*(*M* ∩ *N*) 이다. 그리고 ∀*a* ∈ *G* 에 대하여 *φ*(*a*) = (*aM*, *aN*) 로 정의된 사상 *φ* : *G* → *G*/*M* × *G*/*N* 는 잘 정의된 준동형사상이고 ker *φ* = *M* ∩ *N* 이다. 이에 대한 증명은 생략한다. 그리고 위의 논의에 의해 *φ* 는 전사이므로 군에 대한 제 1 동형정리([First isomorphism theorem][gisothm])에 의해 *G*/(*M* ∩ *N*) ≅ *G*/*M* × *G*/*N* 이다. [^1]: *R* 가 영환([Zero ring][zr]) 즉, *R* = {0} 이 아니라는 의미이다. *R* 가 영환이면 0 은 곱셈항등원이 된다. 혹시 “*R* 가”라고 하는 것이 이상하다고 느낄 수 있지만 사실 [로마자][] ‘R’ 를 ‘[아르][]’라고 표기한다. [^2]: 환은 덧셈에 대하여 가환군이므로 좌잉여류와 우잉여류는 같기 때문에 좌우 구분없이 단순히 잉여류라고 할 수 있���. [^3]: 정규부분군은 좌잉여류와 우잉여류가 같은 부분군을 정의한 것이다. 그리고 두 정규부분군의 공통집합도 정규부분군이므로 좌우 구분없이 단순히 잉여류라고 할 수 있다. [^4]: 양의 정수 *m* 과 *n* 의 [최대공약수][]([Greatest common divisor][gcd])라는 뜻이다. [^5]: 준동형사상 *φ* 의 핵은 *φ*가 환 준동형사상인 경우에는 공역 환의 덧셈 항등원의 역상으로 정의되고, *φ*가 군 준동형사상인 경우에는 공역 군의 항등원의 역상으로 정의된다. 그리고 ker *φ* 로 표기한다. [^6]: 환과는 다르게 ‘중국인의 나머지 정리’의 공통해와의 비슷한 점이 안보인다. 그러나, ‘중국인의 나머지 정리’에서 1 = *ms* + *nt* 이므로 *a* = *a*(*ms*) + *a*(*nt*) 와 *b* = *b*(*ms*) + *b*(*nt*) 가 성립함에 주목하면 공통해 *a*(*nt*) + *b*(*ms*) 를 통해서 군에서의 해를 유추할 수 있다. [nt]: http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory [정수론]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%88%98%EB%A1%A0 [aa]: http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra [추상대수학]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B6%94%EC%83%81%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99 [crt]: http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem [중국인의 나머지 정리]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%91%EA%B5%AD%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EB%82%98%EB%A8%B8%EC%A7%80_%EC%A0%95%EB%A6%AC [g]: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics) [군]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%B0_(%EC%88%98%ED%95%99) [r]: http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics) [환]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%98_(%EC%88%98%ED%95%99) [i]: http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory) [아이디얼]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B4%EB%94%94%EC%96%BC [ns]: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup [정규부분군]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%80%EB%B6%84%EA%B5%B0 [h]: http://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphism [준동형사상]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%80%EB%8F%99%ED%98%95%EC%82%AC%EC%83%81 [zr]: http://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring [아르]: http://dic.daum.net/word/view.do?wordid=kkw000166349&q=%EC%95%84%EB%A5%B4 [로마자]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%EB%A7%88%EC%9E%90 [sg]: http://en.wikipedia.org/wiki/Subgroup [cs]: http://en.wikipedia.org/wiki/Coset [최대공약수]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B5%9C%EB%8C%80%EA%B3%B5%EC%95%BD%EC%88%98 [gcd]: http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor [핵]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B5_(%EC%88%98%ED%95%99) [k]: http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(algebra) [sf]: http://en.wikipedia.org/wiki/Surjective_function [전사]: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%84%EC%82%AC%ED%95%A8%EC%88%98 [risothm]: http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorem#First_isomorphism_theorem_2 [gisothm]: http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorem#First_isomorphism_theorem [wd]: http://en.wikipedia.org/wiki/Well-defined

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3차 정이면체군에 대한 시각적 표현

영문 위키의 ‘[Hasse diagram][hd]’ 페이지에서 4차 [정이면체군][]([Dihedral group][dg]) *D*4에 대한 굉장히 직관적인 Hasse diagram을 봤다.

**4차 정이면체군 *D*4를 시각적으로 표현한 방법이 굉장히 직관적이기 때문에 *D*4를 단번에 파악할 수 있다.** 3차 정이면체군 *D*3에 대해서도 이와 비슷한 시각적 표현법이 있을 것 같아서 구글링을 해봤지만, 아쉽게도 찾을 수 없었다. 그래서 직접 만들었다.

[Geometer's Sketchpad][gsp]와 Windows7의 그림판 그리고 iOS 응용프로그램 [Grafio Lite][gl]를 이용하여 그렸다. **위와 같은 그림을 생각하게된 것은, *D*3가 3차 [대칭군][]([Symmetric group][sg]) *S*3와 동형이기 때문이다.** 정삼각형의 세 변을 각각 1, 2, 3이라 하자. 2를 이중선으로 바꾸고 3을 지우자.[^1] 한 변을 지워도 남은 두 변이 연결되어 있으므로 바뀐 삼각형을 보고도 삼각형의 세 변이 1, 2, 3에 대응되어있다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 이쯤에서 *n*차 정이면체군을 되돌아보자. --- *n*차 정이면체군 *D**n*을 보통 다음과 같이 표현한다. *D**n*＝*n*＝*τ*2＝1, *τ*−1*στ*＝*σ*−1> 단, ***σ***는 정*n*각형을 반시계 방향으로 360°/*n* 만큼의 회전이동하는 **회전변환**이고, ***τ***는 정*n*각형의 *n*개의 대칭축 중에서 어떤 하나의 대칭축에 대하여 선대칭하는 **대칭변환**이다. 특히, 항등식 *τ*−1*στ* = *σ*−1 의 의미를 물리적으로 해석할 수 있다. 작은 구멍이 촘촘히 뚫린 종이벽에 쇠로 만든 정*n*각형을 붙였다고 생각하자(중력은 무시하자!). 그리고 정*n*각형을 반시계 방향으로 회전시킨다고 하자. 벽면의 반대편에서 보면 정*n*각형은 분명히 시계 방향으로 회전할 것이다. 이제 *τ*를 벽면의 반대편으로 건너가서 정*n*각형을 관찰하는 행동으로 간주하고, *σ*를 정*n*각형을 반시계 방향으로 360°/*n* 만큼의 회전하는 행동으로 간주하자. 그러면, *τ*−1*στ*는 벽면의 반대편으로 건너가서 (자석을 이용하여) 정*n*각형을 반시계 방향으로 360°/*n* 만큼의 회전이동하고 다시 원래 자리로 돌아와서 정*n*각형을 관찰함을 뜻한다. 벽면의 반대편에서 반시계 방향으로 360°/*n* 만큼의 회전하였으므로 분명히 원래 자리로 돌아와서 보면 시계 방향으로 360°/*n* 만큼의 회전되었을 것이다. 즉, *σ*−1의 뜻과 같다. --- 3차 정이면체군에 대한 시각적 표현을 그림 아래의 설명과 같이 생각할 수 있다.

- *D*3로 볼 경우에, 윗줄은 차례로 항등변환 1 = *σ*3, *σ*, *σ*2에 대응되고 아랫줄은 차례로 *τ*, *στ*, *σ*2*τ*에 대응된다. - *S*3로 볼 경우에, 윗줄은 차례로 항등변환 1, (1 2 3), (1 3 2)에 대응되고 아랫줄은 차례로 (1 2), (1 3), (2 3)에 대응된다. [^1]: 투명선으로 바꾼다고 생각해도 좋다. [dg]: https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group [hd]: https://en.wikipedia.org/wiki/Hasse_diagram [gsp]: http://www.dynamicgeometry.co.uk/ [정이면체군]: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4%EA%B5%B0 [gl]: https://itunes.apple.com/kr/app/grafio-lite-diagrams-ideas/id393111242?mt=8 [sg]: https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group [대칭군]: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%B9%AD%EA%B5%B0_(%EA%B5%B0%EB%A1%A0)

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슈톨츠-체사로 정리 (Stolz–Cesàro theorem)

다음은 [구글에서 찾은 pdf 파일][pdf][^1]에 있는 정리다. 잘 알려진 형태의 “슈톨츠-체사로 정리”는 영문 위키의 “[Stolz–Cesàro theorem][sct]”에서 볼 수 있고, 이는 아래의 정리와 동치다. 특히, 아래의 정리는 ‘[가비의 리][kabi]’를 일반화 시킨 것으로 볼 수도 있다. ------------------ 임의의 실수열 (*a**n*)과 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty$ 을 만족하는 양의 실수열 (*b**n*)에 대하여 만약 수열 (*a**n*/*b**n*)이 수렴하면, 다음이 성립한다. $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_n }{ b_n } \tag{1} \label{1}$$ ------------------ **사실 위 정리에 대한 ‘놀라운’ 증명 아이디어를 “[Todd and Vishal's blog][tvb]”에서 찾게 되어 본 포스트를 작성하게 되었다.** 증명은 다음과 같다. *ε* > 0 이라 하자. *L* := lim *a**n*/*b**n* 이라 하면 어떤 자연수 *N* > 1 이 존재하여 다음이 성립한다. $$n \geq N \implies \left| \frac{ a_n }{ b_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6} $$ 즉, ∀*n* ≥ *N* 에 대하여 *a**n*/*b**n* ∈ (*L*−*ε*/6, *L*+*ε*/6) =: *V**ε*/6(*L*) 이다. **따라서 앞서 포스팅한 ‘[가비의 리][kabi]’에 있는 정리를 귀납적으로 적용하면 다음이 성립한다.**[^2] $$n \geq N \implies \frac{ a_{N} + a_{N+1} + \cdots + a_{n} }{ b_{N} + b_{N+1} + \cdots + b_{n} } \in V_{ \varepsilon /6}( L )$$ $A_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$, $B_n := \sum_{k=1}^{n} b_k$ 라 하면 위 명제는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n \geq N \implies \frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } \in V_{ \varepsilon / 6}( L ) \tag{2} \label{2}$$ 한편, $\lim B_n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty$ 이므로 *n*이 충분히 크면 다음과 같이 근사할 수 있다. $$\frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } = \cfrac{ \cfrac{ A_n }{ B_n } - \cfrac{ A_{ N-1 } }{ B_n } }{ 1 - \cfrac{ B_{ N-1 } }{ B_n } } \approx \frac{ A_n }{ B_n }$$ 따라서 *n*가 충분히 크면 *A**n*/*B**n* ∈ *V**ε*/6(*L*) 이므로 증명은 끝난다. 근사 과정에 대해서 좀 더 엄밀한 증명을 할 수도 있다. 사실 이를 위해 위에서 일부러 *ε*대신에 *ε*/6을 사용하였다. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자. 그리고 ***L*≠0** 이라 가정하자. - *C**n* := *A**n*/*B**n* - *γ**n* := *A**N*-1/*B**n* - *δ**n* := *B**N*-1/*B**n* lim *B**n* = +∞ 이므로 lim *γ**n* = lim *δ**n* = 0 이다. 따라서 어떤 자연수 *K*1, *K*2가 존재하여 다음을 만족한다. $$n \geq K_1 \implies | \gamma_n | < \frac{ \varepsilon }{3} \tag{3} \label{3}$$ $$n \geq K_2 \implies | \delta_n | < \frac{ \varepsilon }{ 3 | L | } \tag{4} \label{4}$$ 또한, lim *δ**n* = 0 에 대하여 *ε*=1 일때, 적당한 자연수 *K*3가 존재하여 다음을 만족한다. $$n \geq K_3 \implies | \delta_n | < 1 \tag{5} \label{5}$$ 그리고 명제 $(\ref{2})$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$n \geq N \implies \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6} \tag{6} \label{6}$$ 이제 모든 준비가 끝났다. *n* ≥ *K* := max{*N*, *K*1, *K*2, *K*3} 라 하자. |*C**n*−*L*| = |*C**n* −*γ**n* −*L* +*γ**n*| 에 [삼각부등식][ti]을 적용하면 다음이 성립한다. |*C**n*−*L*| ≤ |*C**n* −*γ**n* −*L*| + |*γ**n*| 윗식의 우변을 변형하고 다시 삼각부등식을 적용한 후에 명제 $(\ref{5})$, $(\ref{6})$, $(\ref{4})$, $(\ref{3})$을 적용하면 다음이 성립한다. $$\begin{aligned} & | C_n - \gamma_n - L | + | \gamma_n | \\\\ & = \left| (1 - \delta_n ) \left( \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right) - \delta_n L \right| + | \gamma_n | \\\\ & \leq (1 + | \delta_n | ) \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| + | \delta_n | | L | + | \gamma_n | \\\\ & < 2 \frac{ \varepsilon }{6} + \frac{ \varepsilon }{3 | L | } | L | + \frac{ \varepsilon }{3} = \varepsilon \end{aligned}$$ 그리고 *L*=0 일때는 명제 $(\ref{4})$를 지우고, 위의 마지막 부등식의 우변([RHS: right-hand side][rhs])을 다음으로 바꾸면 충분하다. $$2 \frac{ \varepsilon }{6} + 1 \cdot 0 + \frac{ \varepsilon }{3} < \varepsilon$$ 다시말해 *n* ≥ *K* 이면, |*C**n*−*L*| < *ε* 이다. 즉, $$n \geq K \implies \left| \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } - L \right| < \varepsilon$$ 그러므로 최종적인 식 $(\ref{1})$이 성립한다. ∎ [^1]: 미국 캔자스(Kansas) 주립대학 수학과의 ‘[Gabriel Nagy][nagy]’ 교수가 작성한 것 같다. [^2]: 바로 이것이 그 놀라운 아이디어다. [tvb]: http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/05/08/stolz-cesaro-theorem/ [sct]: https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem [pdf]: http://www.math.ksu.edu/~nagy/snippets/stolz-cesaro.pdf [nagy]: http://www.math.ksu.edu/~nagy/ [kabi]: http://goodmath.tumblr.com/post/77168968473 [ti]: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality [rhs]: http://en.wikipedia.org/wiki/Sides_of_an_equation

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가비의 리 (加比の理)

일어 위키에 있는 “[加比の理][kabi]”의 내용을 바탕으로 아래의 정리를 얻을 수 있었다. ---------------------------- *c*·*d* > 0 이고, $\frac{a}{c} \leq \frac{b}{d}$ 인 네 실수 *a*, *b*, *c*, *d*에 대하여 다음이 성립한다. $$\frac{a}{c} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{b}{d} \tag{1} \label{1}$$ 단, 등호는 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 일 때만 성립한다. ---------------------------- 등호가 성립할 때 식 $(\ref{1})$을 ‘가비의 리’[^1](加比の理)라고 한다. 증명은 간단하다. ## ‘가비의 리’의 증명 *cd* > 0 이므로 *a*/*c* ≤ *b*/*d* ⇔ *ad* ≤ *bc* 이다. 따라서, 다음이 성립한다. $$\begin{aligned} {a+b \over c+d} &={ad + bd \over (c+d)d} \\\\ &\leq {bc + bd \over (c+d)d}={b(c+d) \over (c+d)d}={b \over d} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {a+b \over c+d} &={ac + bc \over (c+d)c} \\\\ &\geq {ac + ad \over (c+d)c}={a(c+d) \over (c+d)c}={a \over c} \end{aligned}$$ 그리고 위의 두 식들은 모두 *a*/*c* = *b*/*d* 일 때만 성립한다. ∎ 그런데 ‘가비의 리’가 무엇을 의미할까? ‘가비의 리’를 시각적으로 표현하면 그 의미를 알 수 있다. 특별히 아래의 두 가지 시각화는 네 실수 *a*, *b*, *c*, *d*가 양의 실수인 경우에 ‘가비의 리’의 증명이다. ## ‘가비의 리’의 시각화 ① 구글에서 ‘加比の理’를 검색하다가 발견한 [웹페이지(www.nichinoken.co.jp)][v1]의 그림을 다시 그렸다.

임의의 삼각형에서 밑변에 평행한 선분으로 삼각형을 자르고, 그 선분에 의해 잘린 네 선분들을 위의 그림처럼 *a*, *b*, *c*, *d* 라고 하자. 작은 삼각형과 큰 삼각형은 서로 닮음이므로, *a*+*b*/*a* = *c*+*d*/*c* 이다. 특히, *a*+*b*/*a* = *c*+*d*/*c* ⇔ *a*/*c* = *b*/*d* 이다. 또한, *a*+*b*/*a* = *c*+*d*/*c* ⇔ *a*+*b*/*c*+*d* = *a*/*c* 이다. 그러므로 *a*+*b*/*c*+*d* = *a*/*c* = *b*/*d* 이다. ## ‘가비의 리’의 시각화 ② 시각화 ①과 마찬가지로 구글에서 ‘加比の理’를 검색하다가 발견한 [웹페이지(sanzyutsuman.xsrv.jp)][v2]의 그림을 다시 그렸다.

임의의 △*ABC*의 내부의 한 점 *P*가 있을 때, 직선 *AP*와 선분 *BC*의 교점을 *Q*라 하자. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자. - *a* := △*ABQ*의 넓이 - *b* := △*PBQ*의 넓이 - *c* := △*AQC*의 넓이 - *d* := △*PQC*의 넓이 - *x* := 선분 *BQ*의 길이 - *y* := 선분 *QC*의 길이 우선 △*ABQ*와 △*AQC*의 높이가 같으므로, *a*/*x* = *c*/*y* 이다. 마찬가지로 △*PBQ*와 △*PQC*의 높이가 같으므로, *b*/*x* = *d*/*y* 이다. 그러므로 *a*/*c* = *x*/*y* = *b*/*d* 즉, *a*/*c* = *b*/*d* 이다. 특히, *a*/*x* − *b*/*x* = *c*/*y* − *d*/*y* ⇔ *a*−*b*/*x* = *c*−*d*/*y* 이다. 즉, 다음이 성립한다. $$\frac{a-b}{c-d} = \frac{x}{y} \tag{2} \label{2}$$ 그러므로 *a*−*b*/*c*−*d* = *a*/*c* = *b*/*d* 이다. 참고로 위와 같은 원리 즉, 삼각형의 넓이의 비를 이용하여 “체바(Ceva)의 정리”를 증명할 수 있다. 실제 증명은 영문 위키의 “[Ceva's theorem][cv]”에서 볼 수 있다. 끝으로 흥미로운 식 $(\ref{2})$를 관찰하자. 식 $(\ref{2})$를 삼각형의 선분과 넓이를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{\triangle ABP}{\triangle APC} = \frac{BQ}{QC} \tag{3} \label{3}$$ 사실 ‘시각화 ②’의 원본 그림이 있는 [일어 웹페이지][v2]에서는 식 $(\ref{3})$을 주제로 이야기한다. 기하적으로 매우 흥미로운 식임은 분명하다. 한편, ‘[박부성님의 블로그][pomp2]’와 네이버캐스트 ‘수학 산책’의 “[삼각형 선분의 길이의 비][nc]”에서는 복잡한 ‘삼각형 선분의 길이의 비’를 구하는 문제를 풀 때, 지레의 원리를 이용하여 쉽게 해결하는 방법을 소개하고 있다. **그런데 지레의 원리 대신에 식** $(\ref{3})$**을 여러 번 적용하는 것도 역시 좋은 해법이 될 수 있다.** [^1]: ‘[박부성님의 블로그][pomp1]’에서 본 재밌는 일화를 소개한다. > 예전에 들었던 질문 가운데 당황스러웠던 것 가운데 하나가 이것이었다. > > > "가비"는 어떤 수학자인가요? ‘가비의 리’가 일본어 ‘加比の理’를 그대로 직역했기 때문에 생긴 “[웃픈][op]” 일이다. [v1]: http://www.nichinoken.co.jp/column/essay/sansu/2008_m07.html#no07 [v2]: http://sanzyutsuman.xsrv.jp/Pages/kouza86.html [kabi]: https://ja.wikipedia.org/wiki/分数#.E5.8A.A0.E6.AF.94.E3.81.AE.E7.90.86 [pomp1]: http://pomp.tistory.com/440 [pomp2]: http://pomp.tistory.com/724 [op]: http://mirror.enha.kr/wiki/%EC%9B%83%ED%94%84%EB%8B%A4 [cv]: https://en.wikipedia.org/wiki/Ceva's_theorem [nc]: http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&pc&contents_id=10762

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원뿔곡선의 판별식 (Discriminant of a Conic Section)

방정식 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 에 대한 해집합 {(*x*, *y*)}의 그래프는 무엇일까? 우선, *A*=*B*=*C*=0 이면, 해집합의 그래프는 다음 중 하나이다. - *D*≠0 ∨ *E*≠0 ⇒ *직선* - *D*=*E*=0 ∧ *F*=0 ⇒ *평면* - *D*=*E*=0 ∧ *F*≠0 ⇒ *공집합* **이제 *A*=*B*=*C*=0 이 아니라고 가정하자.** 즉, *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니라고 하자. > 이때, *x*, *y*에 관한 이차방정식 *S*(*x*, *y*)의 해집합의 그래프를 **원뿔곡선**([Conic Section][cs])이라 한다. 특히, 타원, 쌍곡선, 포물선을 **비퇴화**(non-degenerate) **원뿔곡선**이라 하고 그 외의 경우를 **퇴화**(degenerate) **원뿔곡선**이라 한다. 또한, *Ax*²+*Bxy*+*Cy*²을 **동반 이차형식**(Associated Quadratic Form)이라 한다.[^1] 만약 0 = *S*(*x*, *y*) = (*ax*+*by*+*c*)(*dx*+*ey*+*f*) 와 같이 인수분해 되면, 어떻게 될까? *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, *a*=*b*=0 또는 *d*=*e*=0 이 될 수 없다. *따라서, 해집합은 두 직선 ax+by+c=0, dx+ey+f=0 의 합집합이다.* **사실 여기서 중요한 것은 *S*(*x*, *y*)의 인수분해의 유일성이다.** 만약 *S*(*x*, *y*)의 인수분해가 유일하지 않다면, 해집합은 하나로 결정되지 않는다. 그런데, 실수는 유일 인수분해 정역([Unique Factorization Domain][ufd], 이하 UFD)이므로 다항식 환 ℝ[*x*, *y*]는 UFD이다.[^2] 따라서, *S*(*x*, *y*)의 인수분해는 유일하다. **이제 *S*(*x*, *y*)가 실수 위에서 기약이라고 가정하자.** 즉, *S*(*x*, *y*)가 실수 위의 다항식 환([Ring][r]) ℝ[*x*, *y*]의 기약 다항식([Irreducible polynomial][ip])이라 하자. *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, 다음과 같은 7가지 경우를 고려할 수 있다.

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A ╳ ╳ ╳ ◯ ╳ ◯ ◯ B ╳ ╳ ◯ ╳ ◯ ╳ ◯ C ╳ ◯ ╳ ╳ ◯ ◯ ╳

◯는 0임을 뜻하고, ╳는 0이 아님을 뜻한다. ------------------------------------ ## 혼합항 *xy*가 없는 경우: ③, ⑤, ⑦ ③, ⑤, ⑦의 경우에 *B*=0 이므로, 혼합항(cross-product term) *xy*가 없다. #### 경우 ③: *A*≠0, *B*=0, *C*≠0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$A \left( x + \frac{D}{2A} \right) ^2 + C \left( y + \frac{E}{2C} \right) ^2 = \left( \frac{D}{2A} \right)^2 + \left( \frac{E}{2C} \right)^2 - F$$ 따라서, 방정식 *S*=0 의 해집합은 경우에 따라 다음과 같은 그래프를 갖는다. 단, *R*는 윗식의 우변을 의미한다. - *R*=0 ⇒ *한 점*[^3] (−*D*/(2*A*), −*E*/(2*C*)) - *R*/*A*<0 ∧ *R*/*C*<0 ⇒ *공집합* - *R*/*A*>0 ∧ *R*/*C*>0 ⇒ *타원* - *AC*<0 ⇒ *쌍곡선* 특히, 마지막 경우에 *R*≠0을 가정할 필요가 없다. 왜냐하면 *AC*<0 이면 *S*가 기약이므로 *R*≠0 이기 때문이다. #### 경우 ⑤: *A*≠0, *B*=0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다. - *E*=0 ⇒ *공집합* (∵ *S*는 기약) - *E*≠0 ⇒ *포물선* #### 경우 ⑦: A=0, B=0, C≠0 *S*(*x*, *y*) = *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다. - *D*=0 ⇒ *공집합* (∵ *S*는 기약) - *D*≠0 ⇒ *포물선* ------------------------------------ ## 혼합항 *xy*가 있는 경우: ①, ②, ④, ⑥ 세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 결론부터 말하면, 세 경우의 해집합의 그래프는 모두 다항함수가 아닌 유리함수의 그래프이다. 이것이 *쌍곡선*임을 아래에서 밝힐 것이다. #### 경우 ②: *A*≠0, *B*≠0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$y = - \frac{Ax^2 + Dx + F}{Bx + E}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. #### 경우 ④: *A*=0, *B*≠0, *C*≠0 *S*(*x*, *y*) = *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$x = - \frac{Cy^2 + Ey + F}{By + D}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. 직선 *y*=*x*에 대하여 대칭이동 시키면 다음과 같다. $$y = - \frac{Cx^2 + Ex + F}{Bx + D}$$ #### 경우 ⑥: *A*=0, *B*≠0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Bxy* + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$y = - \frac{Dx + F}{Bx + E}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. #### 경우 ①: *A*≠0, *B*≠0, *C*≠0 이때, *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 ②, ④, ⑥과 같이 *y*를 *x*에 관하여 또는 *x*를 *y*에 관하여 간단히 표현할 수없다. **여기서 새로운 기술(technique)의 필요가 발생한다.** ------------------------------------ ## 혼합항 소거하기[^4]: *B*≠0 우선 *S*(*x*, *y*)를 행렬을 이용하여 나타내보자. $\mathbf{x} := \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}$, $Q := \begin{bmatrix} A & B/2 \\\\ B/2 & C \end{bmatrix}$, $K := \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix}$라 하면, *S*(*x*, *y*)=0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$S(x, y) = \mathbf{x}^{T} Q \mathbf{x} + K \mathbf{x} + F = 0 \tag{1} \label{1}$$ 그리고나서 다음의 세 단계를 거쳐 혼합항을 소거할 수 있다. 사실 세 단계의 논의는 주축정리([Principal Axis Theorem][pat])의 증명과 다름없다. #### 1단계: 행렬 *Q*를 직교대각화하는 행렬 *P* 구하기 *Q*x = *λ*x 즉, (*Q*−*λI*)x=0 을 만족하는 영이 아닌 x가 존재하기 위한 필요충분 조건은 det(*Q*−*λI*)=0 이다. 즉, 다음이 성립한다. $$\lambda^2 - (A + C)\lambda +\frac{4AC - B^2}{4} = 0 \tag{2} \label{2}$$ 따라서, 두 고윳값은 다음과 같다. $$\lambda_1 = \frac{A + C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}$$ $$\lambda_2 = \frac{A + C - \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}$$ 특히, *λ*1과 *λ*2는 동시에 0이 될 수 없다. 만약 *λ*1=*λ*2=0 이면, (A−C)²+B²=0 이다. 그러나 *B*≠0 이므로 (A−C)²+B²>0 이다. $r^2 := \left( A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \right)^2 + B^2$ 이라 하면, *λ*1의 단위고유벡터는 다음과 같고, $$\frac{1}{r} \begin{bmatrix} A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \\\\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} \\\\ p_{21} \end{bmatrix}$$ *λ*2의 단위고유벡터는 다음과 같다. $$\frac{1}{r} \begin{bmatrix} -B \\\\ A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{12} \\\\ p_{22} \end{bmatrix}$$ 그러므로 *P*는 다음과 같다. $$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\\\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}$$ #### 2단계: 필요에 따라 *P*의 열을 교환하여 det*P*=1 이 되게 한다 1단계에서 이미 det*P* = 1 이 되도록 했다. 한편, det*P*=1 은 직교좌표변환 x=*P*x′ 즉, 다음을 만족하는 선형변환 *P*가 회전변환임을 말해준다. $$\begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix}$$ #### 3단계: x=*P*x′를 식 $(\ref{1})$에 대입하기 *x*′*y*′-평면에 있어서 *S*(*x*, *y*)=0 에 대응하는 방정식을 얻기 위해 x=*P*x′ 를 식 $(\ref{1})$에 대입하면, (*P*x′)T*Q*(*P*x′) + *K*(*P*x′) + *F* = 0 즉, (x′)T(*P*T*QP*)x′ + (*KP*)x′ + *F* = 0 이 된다. P는 Q를 직교대각화하므로 다음이 성립한다. $$P^T Q P = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$$ 따라서 (x′)T(*P*T*QP*)x′ + (*KP*)x′ + *F* = 0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{bmatrix} x' & y' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\\\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix} + F = 0$$ 즉, *S*′(*x*′, *y*′):= *λ*1*x*′2 + *λ*2*y*′2 + *D*′*x*′ + *E*′*y*′ + F = 0 이다. (단, *D*′= *Dp*11 + *Ep*21이고, *E*′= *Dp*12 + *Ep*22이다.) 이 방정식은 혼합항을 갖지 않는다. ------------------------------------ **다시 말해, 혼합항이 있는 방정식 *S*=0의 해집합의 그래프는 혼합항이 소거된 방정식 *S*′=0의 그래프를 회전변환 *P*에 의해 회전하여 얻을 수 있다.** 특히, *P*는 직교행렬([Orthogonal matrix][om])이므로 x=*P*x′ ⇔ *P*Tx=x′ 이다. 따라서, 다음이 성립한다. ***S*′(*x*′, *y*′) = *S*′(*p*11*x* +*p*21*y*, *p*12*x*+*p*22*y*) = *S*(*x*, *y*)** 그러므로 만약 *S*′(*x*′, *y*′) = (*a*′*x*′+*b*′*y*′+*c*′)(*d*′*x*′+*e*′*y*′+*f*′) 와 같이 인수분해되면, *S*도 *S*(*x*, *y*) = {*a*′(*p*11*x* +*p*21*y*)+*b*′(*p*12*x*+*p*22*y*)+*c*′}{*d*′(*p*11*x* +*p*21*y*)+*e*′(*p*12*x*+*p*22*y*)+*f*′} 와 같이 인수분해된다. 그러므로 *S*′(*x*′, *y*′)도 기약이다. 따라서, 방정식 *S*′=0의 해집합의 그래프는 경우 ③, ⑤, ⑦에 의하여 알 수 있다. 특히, 세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 *B*≠0, *AC*=0 이므로 식 $(\ref{2})$에서 근과 계수의 관계에 의하여 *λ*1*λ*2<0 이다. 그러므로 경우 ③에 의하여 세 경우 ②, ④, ⑥에서 방정식 *S*=0 의 해집합의 그래프는 쌍곡선이다. ------------------------------------ ## 원뿔곡선의 판별식 ([Discriminant of a Conic Section][csd]) 방정식 *S*=0의 해집합의 그래프가 비퇴화 원뿔곡선이면, *λ*1*λ*2의 부호에 따라 그래프를 간단히 분류할 수 있다. - *λ*1*λ*2 > 0 ⇒ *타원* - *λ*1*λ*2 = 0 ⇒ *포물선* - *λ*1*λ*2 > 0 ⇒ *쌍곡선* 특히, 식 $(\ref{2})$에서 근과 계수의 관계에 의하여 *λ*1*λ*2의 부호는 4*AC*−*B*²의 부호와 같다. 그러므로 동반 이차 형식의 계수만으로 다음의 판별식이 만들어 진다. > 방정식 *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 그래프가 **비퇴화 원뿔곡선이면**, 그래프는 *B*²−4*AC*의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다. > > - *B*²−4*AC* < 0 ⇒ *타원* > - *B*²−4*AC* = 0 ⇒ *포물선* > - *B*²−4*AC* > 0 ⇒ *쌍곡선* ------------------------------------ ## 참고문�� 및 링크목록 - «Elementary Linear Algebra, 8th Edition» - Howard Anton - «A First Coures in Abstract Algebra» - John B. Fraleigh - [Discriminant][d] - Wikipedia - [Degenerate Conic][dc] - Wikipedia - [Conic Section][cs] - Wikipedia - [Matrix Representation of Conic Sections][mrcs] - Wikipedia - [Unique Factorization Domain][ufd] - Wikipedia - [Principal Axis Theorem][pat] - Wikipedia - [Orthogonal Matrix][om] - Wikipedia - [Ring][r] - Wikipedia [^1]: ‘Howard Anton’의 «Elementary Linear Algebra, 8th Edition»에서 인용했다. [^2]: ‘John B. Fraleigh’가 쓴 «A First Coures in Abstract Algebra»의 정리 45.29에 의하여 성립한다. [^3]: *R*=0 이면 *S*가 기약이므로 *AC*>0 이다. [^4]: ‘Howard Anton’이 쓴 «Elementary Linear Algebra, 8th Edition»의 “혼합항의 소거법”(Eliminating the Cross-Product Term)을 인용했다. [d]: http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant [dc]: https://en.wikipedia.org/wiki/Degenerate_conic [cs]: https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section [csd]: https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section#Discriminant_classification [mrcs]: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_representation_of_conic_sections [ufd]: http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain [pat]: https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_axis_theorem [om]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix [r]: http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics) [ip]: http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial

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여러가지 평균과 그 의미

우연히 평균에 대하여 잘 정리된 글을 [파이낸셜 뉴스][og]에서 찾았다. > 평균은 사회 현상 또는 과학적 사실로부터 얻은 데이터를 이용하여 그 현상 또는 사실의 대표적인 성향을 나타낼 때 자주 사용되는 개념이다.[^1] 가장 널리 사용되는 평균으로는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등이 있다. 각각의 평균들은 어떤 경우에 사용될까? > > 우리에게 가장 익숙한 평균 개념인 **산술 평균**은 흔히 시험점수의 평균점수를 구하는 데 이용되곤 한다. 여기에 변량 a, b, c 가 있다고 가정하자. 이 변량들의 산술평균은 (a+b+c)/3 와 같이 구한다. > > **기하 평균**을 알아보기 위해 다음과 같은 예를 들어 보자. A라는 도시의 3년 전 인구를 P라 하고 3년 동안 각각 a배, b배, c배 성장했다고 하면 현재의 인구는 abcP일 것이다. 3년 동안 매해 평균 x배씩 성장했다고 하면 abcP = x³P 와 같고 x = ∛(abc) 일 것이다. > > **조화 평균**은 평균 속력을 구하는 예로 생각해 볼 수 있다. 도시 A와 도시 B 사이의 거리를 S라 하자. A에서 B까지 왕복 이동을 할 경우, 갈 때는 시속 a km/h로 가고 올 때는 시속 b km/h로 돌아왔다면, 이때 평균 속력은 총 이동 거리를 총 소요시간으로 나눈 것이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. > > $$\cfrac{2S}{\cfrac{S}{a} + \cfrac{S}{b}} = \cfrac{2}{\cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$$ [^1]: 전문용어로 표현하면, 평균은 통계량에 대한 대푯값의 한 가지 종류라고 할 수 있다. [og]: http://www.fnnews.com/view?ra=Sent1501m_View&corp=fnnews&arcid=0921163809&cDateYear=2007&cDateMonth=11&cDateDay=28&mfn=f

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합동 계산없이 연립합동식 풀기

중국인의 나머지 정리([Chinese Remainder Theorem][crt])는 정수론의 기초 정리로서, 연립합동식 문제의 해결 방법이다. 이 정리는 중등학교의 일반 교육과정에 포함되지 않아서 일반적인 고등학생들은 그 내용을 모르는 것이 정상이다. 그런데 학교 시험에 종종 등장하여 보통의 학생들을 애먹이곤 한다. *그러면 합동 계산([Modular Arithmetic][ma])을 모르는 학생이 연립합동식 문제를 해결할 수는 없을까?* 다음 문제를 합동 계산없이 해결해보자. ***서로 소인 두 양의 정수 m, n 에 대하여 m으로 나눈 나머지가 a이고, n으로 나눈 나머지가 b인 최소의 양의 정수를 구하여라.*** m∙i+a = n∙j+b 을 만족하는 어떤 정수 i, j를 찾으면 충분하다. 그 이유는 다음과 같다. x0:= m∙i+a = n∙j+b 라 할때, x0+t0∙mn ≥ 0 를 만족하는 **최소**의 음이 아닌 정수 t0가 존재한다. 그러면 x:= x0+t0∙mn 은 다음을 만족한다. $$\begin{align} x &= m( i + t_0 n) + a \\\\ &= n( j + t_0 m) + b \end{align}$$ 그런데 x가 최소성을 만족하는 값이 될까? x′가 m으로 나눈 나머지가 a이고, n으로 나눈 나머지가 b인 수이면서 x 보다 작은 양의 정수라 하자. 그러면, x−x′는 m의 배수이면서 n의 배수가 되고 m과 n은 서로 소이므로 x−x′는 mn의 배수이다. 따라서, 어떤 **양의 정수 t1**이 존재하여 x−x′ = t1∙mn 이다. 한편, x−x0 = t0∙mn 이므로 (t0−t1)∙mn = x′−x0 이다. 이때, x0 + (t0−t1)∙mn = x0+(x′−x0) = x′ > 0 이다. 따라서 t0의 최소성에 의하여, t0−t1 ≥ t0 즉, t1 ≤ 0 이다. 이는 t1이 양의 정수라는 것에 대한 모순이다. 그러므로 x가 문제에서 구하고자 하는 값이다. 이제 m∙i+a = n∙j+b ⇔ m∙i + n∙(−j) = b−a 을 만족하는 정수 i, j를 찾는 방법을 알아보자. m과 n은 서로 소이므로 m∙i0 + n∙j0 = 1 을 만족하는 어떤 정수 i0, j0가 존재한다.[^1] 양변에 b−a를 곱하면, m∙i0(b−a) + n∙j0(b−a) = b−a 이 된다. 따라서 i0(b−a)를 i라 하고, −j0(b−a)를 j라 하면 충분하다. m, n의 크기가 작다면, m∙i = n∙j + b−a 에서 우변이 m의 배수가 되도록하여 직접 i, j를 구할 수도 있다. b−a에 적당한 n의 배수를 더하��나 빼서 우변이 m의 배수가 되도록 하는 것이다. [^1]: i0, j0는 유클리드 호제법([Euclidean Algorithm][ea])을 이용하면 구할 수 있다. [crt]: https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem [ma]: https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic [ea]: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm

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독창적인 시각적 증명 (Clever Visula Proof)

‘John D. Cook’의 블로그에 있는 “[Clever Visula Proof][cvf]”의 내용이다.  > 바닥에 있는 모든 보라색 점에 대한 쌍의 개수 만큼 노란색 점이 있다. 이것을 밝히기 위해, 노란색 점의 좌우로 내려가면 보락색 점에 대한 쌍이 결정됨에 주목하자. 역으로, 보라색 점의 쌍에서 올라가면 한 개의 노란색 점이 결정된다. > > There are as many yellow dots above the bottom row of the triangle as there are pairs of purple dots on the bottom row. To see this, note that every yellow dot determines a pair of purple dots by projecting it down to the left and to the right. Conversely, you can go up from any pair of purple dots up to a yellow dot. [cvf]: http://www.johndcook.com/blog/2013/06/25/clever-visual-proof/

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나 같은 사람이 수학에 무슨 공헌을 할 수 있을까요?

여러 대중 수학서적으로 잘 알려진 **박부성**님의 블로그 “[Pomp On Math & Puzzle][pomp]”에서 본 [굉장히 인상적인 글][pomp2]이다. > 2012년 8월 수학자 [윌리엄 서스턴][kowk]([William P. Thurston][enwk])이 사망하였다. > > (중략) Thurston의 부고 소식이 전해지던 무렵, 트위터에서 그가 썼던 글을 소개하는 트윗을 보았는데, 수학자들의 게시판인 ‘MathOverflow’에 ‘muad’라는 사용자가 올린 질문에 대해 서스턴이 쓴 답변이었다. > > 글의 제목은 *What��s a mathematician to do?* > > 천재들의 능력에 기죽는, 나처럼 평범한 수학자에게 격려가 되는 글이어서 부족한 실력으로 번역해 보았다. > > > 이 사이트에 적절한 질문이 아니라서 사과를 해야겠습니다. 하지만 MO(MathOverflow)는 예전에 여러 번 큰 도움을 주었고 비슷한 질문을 하는 학부생들에게도 친절했고, 요즘 걱정이 점점 커져서 여기에 물어봐야겠다는 생각이 들었습니다. > > > > 제 질문은 이겁니다. **나 같은 사람이 수학에 무슨 공헌을 할 수 있을까요?** > > > > 수학은 가우스나 오일러 같은 사람들이 만들었죠. 그들의 성과를 배우고 이해할 수는 있겠지만, 그러는 걸로 새로운 게 만들어지지는 않습니다. 누군가는 그들의 책을 현대적인 용어와 기호로 다시 쓸 수도 있고 다른 사람도 그걸 배우도록 지도할 수 있지만, 저는 이게 수학의 의미있는 부분이라고는 결코 믿지 않습니다. 의미있는 일은 독창적인 수학을 창조하는 것이겠죠. 어마어마하게 똑똑한 사람들이 수학을 열심히 연구하고 있으니, 저같은 사람이 할 수 있는 건 아무 것도 남아있지 않다는 게 전적으로 맞는 말일 것 같습니다. 이런 사람들이 자기 분야에 특별한 재능이 없다는 걸 인정하는 건 제가 처음이겠죠. 아마도 제 가치는 총알받이 병사처럼 행동하는 것 아닐까요? 의지가 있는 충분한 수의 병사를 보내면 장애물 몇 개는 돌파할 수 있을 테니까요. > > > > 두서없이 늘어놓았습니다만 저는 이 질문에 대한 답을 정말 찾고 싶습니다. 경험담이든 누군가의 전기이든 무엇으로부터든지요. > > > > 고맙습니다. > > asked Oct 26 2010 at 16:53 > muad > > > > *당신이 공헌해야 하는 것은 수학이 아닙니다.* **그보다 심오한 것이죠. 바로 수학을 추구함으로서 인간성에, 그리고 더 심오하게는 세상의 복리에 어떻게 공헌할 것인지입니다.** 이러한 질문에 순수하게 지적인 면에서 답하는 것은 가능하지 않습니다. 우리의 행동이 미치는 영향은 우리의 이해력을 훨씬 넘어서니까요. 우리는 매우 사회적이고 매우 본능적인 동물이어서 우리의 복리는 우리가 한 수많은 일에 의존하지만 이 일들을 지적인 면에서 설명하기는 어렵습니다. 이게 바로 당신이 당신의 마음과 열정을 따라 행동해야 하는 이유입니다. 단순한 이성적인 판단만으로는 당신을 헤매게 만들 뿐입니다. 우리 가운데 누구도 이것을 지적으로 완전히 그려낼 수 있을 정도로 똑똑하고 현명한 사람은 없습니다. > > > > 수학의 산물은 명확성과 이해력입니다. 정리 그 자체가 아닙니다. 예컨대 페르마의 마지막 정리나 푸앵카레 추측처럼 유명한 결과들조차 진짜로 중요한 이유가 있을까요? 이 결과들이 진정으로 중요한 것은 특정한 진술에 있는 게 아니라 우리의 이해력��� 도전하는 역할에 있습니다. 우리의 이해력을 증가시켜 수학의 발전을 이끌게 되는 도전을 제시하는 것이지요. > > > > 세상은 명확성과 이해력이 과도하다고 해서 고통받지 않습니다. 특정한 수학이 어떻게 세상을 발전으로 이끌 수 있는지, 그리고 그게 가능한지를 알아내기는 대체로 불가능하지만, 전체적으로 보면 수학은 극히 중요합니다. > > > > 저는 수학이 심리학적 요소를 많이 가지고 있는 것으로 생각합니다. 왜냐하면 수학이 인간의 마음에 강하게 의존하기 때문입니다. 인간성이 제거된 수학은 컴퓨터 코드 같을 겁니다. 이건 전혀 다르죠. 아무리 단순한 수학적 아이디어라도 한 사람의 마음에서 다른 사람의 마음으로 옮기는 일은 어려울 때가 많습니다. 수학에는 생각해내기는 어렵지만 알고나면 쉬운 아이디어가 많습니다. 이 때문에 수학적 이해력은 한 방향으로 단조롭게 확장되지 않습니다. 우리의 이해력은 퇴보하는 경우도 흔합니다. 몇 가지 분명한 쇠퇴의 원리가 있습니다. 한 분야의 전문가가 은퇴하거나 죽기도 하고, 단순히 다른 분야로 옮겨 가고 잊기도 합니다. 수학은 의사소통이 용이하도록 기호적이고 구체적인 형태로 설명되고 기록되는 것이 보통입니다. 한 번 의견을 주고받았다고 해서 이해하기 쉬운 개념적 형태가 아니지요. 개념적인 것에서 구체적이고 기호적인 방향으로의 번역은 반대 방향에 비해 훨씬 쉽고, 기호적인 형식은 개념적 형식의 이해를 대체하곤 합니다. 그리고 수학적 규약과 당연하다고 생각한 지식은 변하기 때문에 오래된 문헌은 이해하기가 어려워질 수 있습니다. > > > > 요컨대, 이해를 퍼뜨리고 옛 아이디어와 새 아이디어 모두에 숨결을 불어넣는 수학자들의 살아있는 사회에서만 수학은 존재할 수 있습니다. **수학으로부터 얻는 진짜 만족은 다른 사람들로부터 배우고 다른 사람들과 공유하는 데 있습니다.** 우리 모두는 몇 가지에 대해서는 명확한 이해를 가지고 있고 더 많은 것에 대해서는 모호한 개념을 갖고 있습니다. 무언가를 명확히 해야할 필요가 있다는 점에서 아이디어가 고갈될 리는 없습니다. 몇 제곱미터의 땅에 첫 발을 디딘 것이 누구인지를 묻는 것은 정말로 부차적인 문제입니다. 혁명적인 변화는 중요하지만, 혁명은 드물고 스스로 유지되지도 않습니다. 혁명은 수학자 '사회'에 매우 많이 의존하니까요. > > answered Oct 30 2010 at 2:55 > Bill[^1] Thurston [^1]: William의 애칭이다. [pomp]: http://pomp.tistory.com/ [pomp2]: http://pomp.tistory.com/878 [kowk]: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%8C%EB%A6%AC%EC%97%84_%EC%84%9C%EC%8A%A4%ED%84%B4 [enwk]: https://en.wikipedia.org/wiki/William_Thurston

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커크맨의 여학생 문제 (Kirkman's schoolgirl problem)

박종안 외3인의 [«이산수학»][bk] 제3판(경문사)에서 ‘순열’ 단원에는 다음과 같은 연습문제가 있다. > 가람이는 일곱 명의 친구를 7일 동안 하루에 세 명씩 저녁식사에 초대하려고 한다. 일곱 명의 친구 모두가 정확히 한번만 다른 모든 친구와 저녁식사를 할 수 있도록 초대하는 경우의 수를 구하여라. 일곱 명의 친구들에게 1 부터 7 까지 번호를 매기자. 임의의 친구 i는 자신을 뺀 나머지 여섯 명의 친구와 모두 한 번씩 짝을 이루어야 한다. 그리고 한번에 세 명씩 짝을 이루므로, 총 3번의 식사를 해야한다. **친구 1을 기준으로 생각하자.** 여섯 명의 친구 2~7을 두 명씩 짝을 짓는 방법은 다음과 같다. $$\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2} \frac{1}{ 3 \! } = 15$$ 친구 2~7을 두 명씩 (2, 3), (4, 5), (6, 7)로 짝 지었다고 하자. 2와 3은 한번 식사를 하므로, 남은 두번의 식사는 따로 해야 한다. ‘4와 5’ 그리고 ‘6과 7’도 마찬가지다. 따라서 가능한 경우는 다음의 둘 밖에 없다.

1 2 3 1 4 5 1 6 7 2 4 6 2 5 7 3 4 7 3 5 6

1 2 3 1 4 5 1 6 7 2 4 7 2 5 6 3 4 6 3 5 7

끝으로 이 일곱쌍을 순서를 자유롭게 배열할 수 있으므로 가능한 경우의 수는 15×2×7\! 이다. 한편, 우연히 영문 위키에서 “[Kirkman's schoolgirl problem][ksp]”이라는 유명한 문제를 찾았는데, 위의 연습문제 보다 훨씬 복잡하지만 유사한 조건을 가지고 있는 점이 눈에 띄어서 이 글을 쓰게 되었다. 아래는 영문 위키 원문 중의 일부를 번역한 것이다. ------------------------------------ “커크맨의 여학생 문제”는 조합론([combinatorics][cb])에서 ‘토마스 커크맨’([Thomas Penyngton Kirkman][tk])에 의해 1850년에 “신사 숙년의 일기”(The Lady's and Gentleman's Diary, p.48)의 ‘Query VI’으로 제안된 문제이다. 문제는 다음과 같다. ***열다섯 명의 여학생들이 연달아 칠일 동안 세 명씩 산책을 한다. 같은 학생과 두 번 이상 산책하지 않게 산책 일정을 정하라.*** ------------------------------------ 열다섯 여학생들에게 01 부터 15 까지 번호를 매기면, 아래의 배열은 하나의 해가 된다.

月 火 水 木 金 土 日 01, 06, 11 01, 02, 05 02, 03, 06 05, 06, 09 03, 05, 11 05, 07, 13 11, 13, 04 02, 07, 12 03, 04, 07 04, 05, 08 07, 08, 11 04, 06, 12 06, 08, 14 12, 14, 05 03, 08, 13 08, 09, 12 09, 10, 13 12, 13, 01 07, 09, 15 09, 11, 02 15, 02, 08 04, 09, 14 10, 11, 14 11, 12, 15 14, 15, 03 08, 10, 01 10, 12, 03 01, 03, 09 05, 10, 15 13, 15, 06 14, 01, 07 02, 04, 10 13, 14, 02 15, 01, 04 06, 07, 10

이 문제의 해는 “[Kirkman triple system][kts]”의 한 예로 볼 수 있다. 참고로 [동형이 아닌 일곱개의 해][7s]가 있다. [ksp]: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Kirkman%27s_schoolgirl_problem [cb]: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Combinatorics [tk]: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Thomas_Penyngton_Kirkman [kts]: http://mathworld.wolfram.com/KirkmanTripleSystem.html [7s]: http://www.ams.org/journals/bull/1922-28-09/S0002-9904-1922-03599-9/home.html [bk]: http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?cate=0001%7C0003%7C0031%7C&p_idx=4884&page=5

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파도아의 부등식 (Padoa's Inequality)

이탈리아의 수학자 [Alessandro Padoa][ap](1868~1937)의 이름이 붙은 부등식이 있다. ‘Paul J. Nahin’의 “When Least is Best”에는 부록 I에서 이 부등식을 다루고 있다. 그런데 이상하게도 번역서 [«최상의 최소»][wlb]에는 부록 I가 없다. 원서가 개정이 되어서인지도 모르겠다. 영문 위키에서도 이 주제에 대한 글이 없어서, 이 글을 쓰게 되었다. 증명은 간단하다. 삼각형의 세 변의 길이에 대한 아래 부등식의 의미를 음미해보자. -------------------------------- ## 파도아의 부등식 (Padoa's Inequality) 임의의 삼각형의 세 변의 길이 a, b, c에 대하여 다음이 성립한다. abc ≥ (a+b−c)(b+c−a)(c+a−b) 단, 등호는 a=b=c 일 때만 성립한다. --------------------------------- 임의의 주어진 삼각형의 내심을 P라 하자. 그리고 P에서 세 변에 각각 수선을 내리자. 세 수선의 발에 의하여 세 변을 아래의 그림과 같이 나타낼 수 있다.

- a = y + z - b = z + x - c = x + y [‘산술-기하 평균 부등식’][agm]에 의하여, 다음이 성립한다. - $a \geq 2\sqrt{yz}$ 단, 등호는 y=z 일 때만 성립한다. - $b \geq 2\sqrt{zx}$ 단, 등호는 z=x 일 때만 성립한다. - $c \geq 2\sqrt{xy}$ 단, 등호는 x=y 일 때만 성립한다. 따라서, $abc \geq 2^3 \sqrt{ (xyz)^2 } = 2^3 xyz$ 가 성립하고 등호는 x=y=z 일 때만 성립한다. 특히, x=y=z 일 필요충분조건은 a=b=c 이다. 한편, 맨 위의 세 방정식을 연립하면 다음을 얻는다. - 2x = b + c − a - 2y = c + a − b - 2z = a + b − c 그러므로 abc ≥ (a+b−c)(b+c−a)(c+a−b) 이고, 등호는 a=b=c 일 때만 성립한다. ∎ [ap]: http://en.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Padoa [wlb]: http://goodmath.tumblr.com/post/75699929984 [agm]: http://goodmath.tumblr.com/post/75882037854

[goodmath]

옌센의 부등식 (Jensen's Inequality)

아래는 ‘Paul J. Nahin’의 «[최상의 최소][wlb]» 부록B에 수록된 “옌센의 부등식”과 그 증명을 바탕으로 재구성한 것이다. --------------------------- ## 보조정리 어떤 구간 *X*의 *n*개의 값 *x*1, *x*2, ⋯, *x*n이 있을 때, *c*1 + *c*2 + ⋯ + *c**n* = 1 을 만족하는 *n*개의 양의 실수 *c*1, *c*2, ⋯, *c**n*에 대하여, *c*1*x*1 + *c*2*x*2 + ⋯ + *c**n**x**n* 는 *X* 위에 있다. ------------------------------ *x*1, *x*2, ⋯, *x**n*을 재배열하여 *x*1, *x**n*을 각각 \{ *x*1, *x*2, ⋯, *x**n* \}의 최솟값과 최댓값이라 하자. 그러면, 1≤*k*≤*n* 인 자연수 *k*에 대하여 *c**k*는 양수이므로 *c**k**x*1 ≤ *c**k**x**k* ≤ *c**k**x**n* 이다. 따라서, 다음이 성립한다. $$ \sum_{k=1}^{n} c_k x_1 \leq \sum_{k=1}^{n} c_k x_k \leq \sum_{k=1}^{n} c_k x_n $$ $ x_1 = \sum_{k=1}^{n} c_k x_1 $ 이고, $ x_n = \sum_{k=1}^{n} c_k x_n $ 이므로 $ x_1 \leq \sum_{k=1}^{n} c_k x_k \leq x_n $ 이다. 특히, *x*1, *x**n*은 구간 *X* 위에 있으므로 *c*1*x*1 + *c*2*x*2 + ⋯ + *c**n**x**n* 는 *X* 위에 있다. ∎ --------------------------- ## 옌센의 부등식 ([Jensen's Inequality][ji]) 실함수 *f*가 어떤 구간 *X* 위에서 순볼록[^1]([strictly convex][cf]) (순오목(strictly concave))이고 *X*의 *n*개의 값 *x*1, *x*2, ⋯, *x**n*이 있을 때, *c*1 + *c*2 + ⋯ + *c**n* = 1 을 만족하는 *n*개의 양의 실수 *c*1, *c*2, ⋯, *c**n*에 대하여 다음이 성립한다. $$f\left( \sum_{i=1}^{n} c_i x_i \right) \leq (\geq) \sum_{i=1}^{n} c_i f(x_i)$$ 단, 등호는 모든 *x**i*의 값이 같을 때만 성립한다. ------------------------------- 증명은 수학적 귀납법을 이용한다. *n*=1인 경우에 자명하다. 특히, *n*=2인 경우에 *f*는 볼록이므로 볼록 함수의 정의에 의하여 자명하고, 등호는 *f*가 순볼록이므로 *x*1 = *x*2 일 때만 성립한다. *n*=*k*인 경우에 성립한다고 가정하자. 이제 구간의 *k*+1 개의 값 *x*1, *x*2, ⋯, *x**k*, *x**k*+1이 있을 때, *c*1 + *c*2 + ⋯ + *c**k* + *c**k*+1 = 1 을 만족하는 *k*+1 개의 양의 실수 *c*1, *c*2, ⋯, *c**k*, *c**k*+1에 대하여 생각하자. 다음과 같이 표현할 수 있음에 주목하자. $$\sum_{i=1}^{k+1} c_i x_i = (1-c_{k+1}) \left( \sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1-c_{k+1} } x_i \right) + c_{k+1} x_{k+1} \tag{2} \label{2}$$ 이때, *k*개의 양의 실수 *c*1/(1−*c**k*+1), *c*2/(1−*c**k*+1), ⋯, *c**k*/(1−*c**k*+1)에 대하여 $\sum_{i=1}^{k} c_i / ( 1 - c_{k+1} ) = 1$ 이므로, 보조정리에 의하여 $\sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1 - c_{k+1} } x_i$ 는 구간 X 위에 있다. 따라서 합이 1이 되는 두 양의 실수 1−*c**k*+1(= *c*1 + *c*2 + ⋯ + *c**k*)와 *c**k*+1에 대하여 고려하면, $(\ref{2})$를 *n*=2인 경우에 대입할 수 있다. 즉, 다음이 성립한다. $$f\left( \sum_{i=1}^{k+1} c_i x_i \right) \leq (1-c_{k+1}) f \left( \sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1-c_{k+1} } x_i \right) + c_{k+1} f(x_{k+1}) \tag{3} \label{3}$$ 한편, 위에서 1≤*i*≤*k* 에 대하여 모든 c*i*/(1−*c**k*+1)는 양의 실수이고, 그들의 합은 1이었다. 그리고, *k*개의 *X*의 값 *x*1, *x*2, ⋯, *x**k*가 있다. 따라서, 귀납법 가정에 의하여 다음이 성립한다. $$f \left( \sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1-c_{k+1} } x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1-c_{k+1} } f(x_i) \tag{4} \label{4}$$ 이제 두 식 $(\ref{3})$과 $(\ref{4})$를 결합하면, 다음을 얻는다. $$f\left( \sum_{i=1}^{k+1} c_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{k+1} c_i f(x_i) \tag{5} \label{5}$$ 그리고 식 $(\ref{3})$에서 등호는 $\sum_{i=1}^{k} \frac{ c_i }{ 1-c_{k+1} } x_i = x_{k+1}$ 일 때만 성립하고, 식 $(\ref{4})$에서 등호는 *x*1 = *x*2 = ⋯ = *x**k* 일 때만 성립한다. 그러므로 식 $(\ref{4})$에서 등호는 모든 *x**i*의 값이 같을 때만 성립한다. *n*=*k*+1 인 경우도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 *n*에 대하여 성립한다. *f*가 순오목인 경우에는 −*f*가 순볼록이 되므로 위의 순볼록에 대�� 증명에 의하여 자명하다. ∎ 참고로 양의 실수 위에서 정의된 순오목 함수 ln(*x*)에 ‘옌센의 부등식’를 적용하면 *n*개의 양의 실수에 대한 [‘산술-기하 평균 부등식’][my]을 쉽게 보일 수 있다. 그 증명은 간단하므로 생략한다. [^1]: 어떤 구간 *X* 위의 실함수 *f*가 다음을 만족하면, 순볼록([strictly convex][cf]) 함수라고 한다. $f\left( tx_1 + (1 -t)x_2 \right) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$, $\forall x_1 \neq x_2 \in X$, $\forall t \in (0,1)$ [ji]: https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality [cf]: https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function [wlb]: http://goodmath.tumblr.com/post/75699929984 [my]: http://goodmath.tumblr.com/post/75882037854

[goodmath]

여러가지 평균에 대한 부등식

실수에서 다음의 네 가지 평균을 정의할 수 있다. 1. 조화 평균 ([Harmonic Mean][hm]) : n개의 양의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 n/(1/x1+1/x2+⋯+1/xn). 2. 기하 평균 ([Geometric Mean][gm]) : n개의 음이 아닌 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 (x1x2⋯xn)1/n. 3. 산술 평균 ([Arithmetic Mean][am]) : n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 (x1+x2+⋯+xn)/n. 4. 이차 평균 ([Quadratic Mean][qm]) : n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 ((x1² +x2²+⋯+xn²)/n)1/2. **이때, n개의 양의 실수에 대하여 HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 이 성립한다.** 우선 n개의 음이 아닌 실수에 대하여 AM≥GM이 성립함을 밝히자. 아래는 ‘Paul J. Nahin’의 [«최상의 최소»][wlb]의 부록A에 수록된 AM≥GM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다. ------------------------------- ## 보조정리 y1y2⋯yn = 1 을 만족하는 n개의 임의의 음이 아닌 실수 y1, y2, ⋯, yn에 대하여 y1 + y2 + ⋯ + yn ≥ n 이다. 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때[^1]만 성립한다. ----------------------------- 위 보조정리는 모든 값들의 곱이 1인 경우의 AM≥GM이 성립함을 보여준다. 증명은 수학적 귀납법을 이용한다. n=1인 경우에는 자명하다. n=k인 경우에 성립한다고 가정하자. 이제 y1y2⋯ykyk+1=1 을 만족하는 k+1 개의 음이 아닌 실수 y1, y2, ⋯, yk, yk+1에 대하여 생각하자. 모든 값이 1보다 크면, 그들의 곱도 1 보다 커지므로 적어도 하나는 1 보다 작거나 같다. 이것을 yi라 하자. 반대로 모든 값이 1 보다 작으면, 그들의 곱도 1 보다 작아지므로 적어도 하나는 1 보다 크거나 같다. 이것을 yj라 하자. 즉, 1−yi ≥ 0 이고 1−yj ≤ 0 이다. 따라서, (1−yi)(1−yj) ≤ 0 이다. 이에 따라 다음이 성립한다. $$1+y_i y_j \leq y_i + y_j \tag{1} \label{1}$$ 1. **i = j** 이면, 첨자를 재배열하여 i=j=1 이라 하자. y1≤1, y1≥1 이므로 y1=1 이다. 그러면 k개의 음이 아닌 실수 y2, ⋯, yk, yk+1에 대하여 y2⋯ykyk+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 y2 + ⋯ + yk + yk+1 ≥ k 이고, 등호는 y2 = ⋯ = yk = yk+1 일 때만 성립한다. 따라서 양변에 y1=1을 더하면, y1 + y2 + ⋯ + yk + yk+1 ≥ k+y1 = k+1 이다. 그리고 y2⋯ykyk+1 = 1 이므로 y2 = ⋯ = yk = yk+1 이면, y2 = ⋯ = yk = yk+1 = 1 이다. 그러므로 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다. 2. **i ≠ j** 이면, 첨자를 재배열하여 i=1, j=2 라고 하자. 그러면 부등식 $(\ref{1})$은 1 + y1y2 ≤ y1 + y2 가 되고 양변에 남은 값들을 더하면, 다음이 성립한다. $$y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq 1 + y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \tag{2} \label{2}$$ 그런데 k개의 음이 아닌 실수 y1y2, y3, ⋯, yk, yk+1 에 대하여 (y1y2)y3⋯ykyk+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 다음 부등식이 성립한다. $$y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq k \tag{3} \label{3}$$ 단, 등호는 y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 일 때만 성립한다. 두 부등식 $(\ref{2})$와 $(\ref{3})$을 결합하면, 다음이 성립한다. $$y_1 + y_2 + \cdots + y_{k+1} \geq k+1 \tag{4} \label{4}$$ 그리고 (y1y2)y3⋯ykyk+1 = 1 이므로 y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 이면, y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 = 1 이다. 또한, 부등식 $(\ref{2})$에서 등호는 y1=1 또는 y2=1 일 때만 성립한다. 그런데, “y1=1 또는 y2=1” 이고, y1y2 = 1 이면 y1 = y2 = 1 이다. 그러므로 부등식 $(\ref{4})$에서 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다. n=k+1인 경우에도 성립하므로 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. ∎ 위 증명에서 “등호는 n개의 값이 모두 같을 때만 성립함”을 귀납법 가정에 포함하여 밝혔지만, 그러지 않고 따로 증명할 수도 있다.[^2] --------------------------------- ## AM ≥ GM n개의 음이 아닌 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1+x2+⋯+xn)/n ≥ (x1x2⋯xn)1/n 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ------------------------------- ⍺:= x1x2⋯xn 라 하고, 임의의 i에 대하여 yi:= xi/⍺1/n 라 하자. 그러면 각 yi는 음이 아니고, y1y2⋯yn=1 이다. 이는 보조정리의 조건을 충족한다. 그러므로, y1 + y2 + ⋯ + yn ≥ n 이다. 즉, 다음이 성립한다. $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{\alpha^{1/n}} \geq n$$ 양변을 n으로 나누면, $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n \alpha^{1/n}} \geq 1 = \frac{\alpha^{1/n}}{\alpha^{1/n}}$$ 양변에 ⍺1/n를 곱하면, $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \alpha^{1/n}$$ ⍺ = x1x2⋯xn 이므로, AM ≥ GM 이 성립한다. 특히, 보조정리에 의하여 등호는 모든 yi = xi/⍺1/n가 같을 경우에만 성립한다. 즉, 등호는 모든 xi가 같을 경우에만 성립한다. ∎ ------------------------------ ## GM ≥ HM n개의 양의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1x2⋯xn)1/n ≥ n/(1/x1+1/x2+⋯+1/xn) 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ------------------------------- n개의 양의 실수 1/x1, 1/x2, ⋯, 1/xn에 대하여 위에서 밝힌 AM≥GM에 의해 다음이 성립한다. (1/x1+1/x2+⋯+1/xn)/n ≥ 1/(x1x2⋯xn)1/n 이제 양변의 역수를 생각하면 자명하다. 등호 역시 AM≥GM에 의해 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ∎ -------------------------------- 아래는 ‘Paul J. Nahin’의 [«최상의 최소»][wlb]의 부록B에 수록된 AM≤QM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다. ## AM ≤ QM n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1+x2+⋯+xn)/n ≤ ((x1² +x2²+⋯+xn²)/n)1/2 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ----------------------------------- AM을 제곱하면, $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! = \frac{1}{n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} x_i x_j \right)$$ 그리고 실수의 제곱은 음이 아니므로, 0 ≤ (xi−xj)² = xi²+xj²−2xixj 이다. 즉, 2xixj ≤ xi²+xj² 이 성립한다. 특히, 등호는 xi=xj 일 경우에만 성립한다. 그러므로, 다음의 부등식이 성립하고 등호는 모든 xi의 값이 같은 때에만 성립한다. $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{1}{n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right)$$ 위 부등식의 우변은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\frac{1}{2n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_i}^2 \right) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}$$ 따라서, 다음이 성립한다. $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}$$ 그리고 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) = 2n \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2$ 이므로, $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2}{n}$$ 이제 위의 부등식에 제곱근을 취하면 AM≤QM을 얻게 된다. 그리고 위에서 밝혔듯이 등호는 모든 xi의 값이 같은 때에만 성립한다. ∎ ----------------------------- ## HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 의 시각화 두 개의 양의 실수 a, b에 대하여 네 가지 평균을 아래와 같이 시각화 할 수 있다.

증명은 삼각형의 닮음비와 피타고라스의 정리를 통해 할 수 있고, 그리 어렵지 않으므로 생략한다. [^1]: 모든 값이 같으면, y1y2⋯yn = 1 에 의하여 모든 값은 1이다. [^2]: 모든 값이 같다면, y1y2⋯yn = 1 이므로 모든 yi=1 이다. 즉, y1 + y2 + ⋯ + yn = n 이다. 반대 방향은 수학적 귀납법을 이용하여 밝힐 수 있다. 모든 자연수 n에 대하여 y1y2⋯yn = 1 이고, y1 + y2 + ⋯ + yn = n 이면, y1 = y2 = ⋯ = yn 임을 밝혀보자. n=1이면, 자명하게 y1=y1 이다. n=k인 경우에 성립한다고 하자. 이제 y1y2⋯ykyk+1 = 1 이고, y1 + y2 + ⋯ + yk + yk+1 = k+1 이 되는 k+1 개의 음이 아닌 실수 y1, y2, ⋯, yk, yk+1에 대하여 생각하자. 어떤 yi=1이면, 첨자를 재배열하여 i=1이라 하자. 그러면 y2⋯ykyk+1 = 1 이고, y2 + ⋯ + yk + yk+1 = k 가 되므로, 귀납법 가정에 의하여 y2 = ⋯ = yk = yk+1 이다. y2⋯ykyk+1 = 1 이므로 모든 값은 1이다. 정반대로 모든 yi가 1이 아니라면, 보조정리의 증명에서 추론한 것과 마찬가지로 모든 값이 1 보다 클 수도 없고, 반대로 1 보다 작을 수도 없다. 그러므로 1보다 큰 값도 작은 값도 존재한다. 따라서, 첨자를 재배열하여 1−y12>0 이라 할 수 있다. 즉, (1−y1)(1−y2) 1y21 + y2 이다. 양변에 남은 값을 더하면, 1 + y1y2 + y3 + ⋯ + yk + yk+11 + y2 + y3 + ⋯ + yk + yk+1 = k+1 즉, y1y2 + y3 + ⋯ + yk + yk+11y2)y3⋯ykyk+1=1 이므로 보조정리의 부등식에 대한 결과에 따르면 y1y2 + y3 + ⋯ + yk + yk+1 ≥ k 이다. 이는 명백한 모순이므로, 모든 yi가 1이 아니라는 가정은 불가능하다. 따라서 n=k+1인 경우에도 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. ∎ [hm]: https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean [am]: https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_mean [gm]: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean [qm]: https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_mean [wlb]: http://goodmath.tumblr.com/post/75699929984