#remaindertheorem

[speedywonderlandtrash]

SSC general math exercise 3.4 solution

SSC general math exercise 3.4 solution

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) :                 আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ                 যদি আমরা ভাজ্যকে ƒ(x), ভাগফলকে h(x),ভাগশেষকে r  ও ভাজককে (x - a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,                 ƒ(x) = (x - a).h(x) + r এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।                   অতএব, ƒ(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ(a) এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী ƒ(x)  কে (x - a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। ভাজক বহুপদী (x - a) এর মাত্রা 1।                 প্রতিজ্ঞা : যদি ƒ(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় হয়।                অনুসিদ্ধান্ত : (x - a), ƒ(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়।                 কোনো বহুপদী ƒ(x), (x - a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য  (Factor theorem) নামে পরিচিত।                 অনুসিদ্ধান্ত : ax + b, a ≠ 0  হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী ƒ(x এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি হয়।   Step-by-step solutions for SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ এর সহজ ও বিস্তারিত সমাধান   উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : প্রশ্ন ১ 6x2 - 7x + 1 সমাধান :   ধরি, ƒ(x)   = 6x2 - 7x + 1                     ∴  ƒ(1)  = 6(1)2 - 71 + 1                                  = 61 - 7 + 1 = 6 - 7 + 1 = 7 - 7 = 0                 ∴ (x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 6x2 - 7x + 1 = 6x2 - 6x - x + 1                        = 6x (x - 1) - 1(x - 1) = (x - 1) (6x - 1)                        = (6x - 1)(x - 1) (Ans.) প্রশ্ন ২   3a3 + 2a + 5 সমাধান : ধরি, ƒ(a) = 3a3 + 2a + 5                  ∴ ƒ(-1)  = 3(-1)3 + 2(-1) + 5                                 = - 3 - 2 + 5 = - 5 + 5 = 0                 ∴ (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 3a3 + 2a + 5                        = 3a3 + 3a2 - 3a2 - 3a + 5a + 5                        = 3a2(a + 1) - 3a(a + 1) + 5(a + 1)                        = (a + 1)(3a2 - 3a + 5) (Ans.) প্রশ্ন ৩   x3 - 7xy2 - 6y3 সমাধান : এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।                 প্রদত্ত রাশি��ে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে                 ধরি, ƒ(x) = x3 - 7xy2 - 6y3                   ∴ ƒ(-y)  = (-y)3 - 7×(-y)y2 - 6y3                                  = - y3 + 7y3 - 6y3 = 0                 ∴ x - (-y) বা, (x + y), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 - 7xy2 - 6y3                       = x3 + x2y - x2y - xy2 - 6xy2 - 6y3                       = x2(x + y) - xy(x + y) - 6y2(x + y)                       = (x + y)(x2 - xy - 6y2)                       = (x + y)(x2 - 3xy + 2xy - 6y2)                       = (x + y){x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}                       = (x + y)(x - 3y)(x + 2y) (Ans.) প্রশ্ন ৪   x2 - 5x – 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x) = x2 - 5x - 6                  ∴ƒ(-1)  = (-1)2 - 5(-1) - 6                                 = 1 + 5 - 6 = 6 - 6 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ƒ(x)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x2 - 5x – 6                        = x2 + x - 6x - 6 = x(x + 1) - 6(x + 1)                        = (x + 1)(x - 6) = (x - 6)(x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ৫ 2x2 - x - 3 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 2x2 - x - 3                 ∴  ƒ(-1) = 2(-1)2 - (-1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 3 - 3 = 0                 ∴ {x - (-1)} বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 2x2 - x - 3 = 2x2 + 2x - 3x - 3                       = 2x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(2x - 3)                       = (2x - 3)(x + 1) (Ans.)   প্রশ্ন ৬ 3x2 - 7x - 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 3x2 - 7x - 6                    ∴ ƒ(3) = 3.(3)2 - 7.(3) - 6                                = 3 ´ 9 - 21 - 6 = 27 - 27 = 0                 ∴ (x - 3), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 3x2 - 7x - 6 = 3x2 - 9x + 2x - 6                        = 3x(x - 3) + 2(x - 3) = (x - 3)(3x + 2) (Ans.) Easy examples for solving SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমাধানে সহজ উদাহরণ প্রশ্ন ৭ x3 + 2x2 - 5x - 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x)      = x3 + 2x2 - 5x - 6                   ∴ ƒ(-1)  = (-1)3 + 2(-1)2 - 5(-1) - 6                                  = - 1 + 2 + 5 - 6 = 7 - 7 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 + 2x2 - 5x - 6                       = x3 + x2 + x2 + x - 6x - 6                       = x2(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)                       = (x + 1)(x2 + x - 6)                       = (x + 1)(x2 + 3x - 2x - 6)                       = (x + 1){x(x + 3) - 2(x + 3)}                       = (x + 1)(x + 3)(x - 2)                                 = (x - 2)(x + 1)(x + 3) (Ans.) প্রশ্ন ৮   x3 + 4x2 + x - 6 সমাধান :   মনে করি, ƒ(x)   = x3 + 4x2 + x - 6                              ∴ ƒ(1) = (1)3 + 4(1)2 + (1) - 6                                          = 1 + 4 + 1 - 6 = 6 - 6 = 0                 ∴ (x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 + 4x2 + x - 6                       = x3 - x2 + 5x2 - 5x + 6x - 6                       = x2(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1)                       = (x - 1)(x2 + 5x + 6)                       = (x - 1)(x2 + 3x + 2x + 6)                       = (x - 1){x(x + 3) + 2(x + 3)}                       = (x - 1)(x + 3)(x + 2)                       = (x - 1)(x + 2)(x + 3) (Ans.) প্রশ্ন ৯ a3 + 3a + 36 সমাধান : মনে করি,  f(a)     = a3 + 3a + 36                              f(- 3)  = ( – 3)3 + 3 (– 3) + 36                                         = – 27 – 9 + 36 = 36 – 36 = 0                 ∴  a – (– 3) বা, (a + 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 + 3a + 36                       = a3 + 3a2 – 3a2 – 9a + 12a + 36                       = a2(a + 3) – 3a(a + 3) + 12(a + 3)                       = (a + 3) (a2 – 3a + 12) (Ans.) প্রশ্ন ১০   a4 - 4a + 3 সমাধান : মনে করি, f(a)    = a4 – 4a + 3                           ∴  f(1)  = (1)4 – 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 4 – 4 = 0                 ∴  (a – 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a4 – 4a + 3                       = a4 – a3 + a3 – a2 + a2 – a – 3a + 3                       = a3(a – 1) + a2(a – 1) + a(a – 1) – 3 (a – 1)                       = (a – 1) (a3 + a2 + a – 3)                       = (a – 1) (a3 – a2 + 2a2 – 2a + 3a – 3)                       = (a – 1) {a2(a – 1) + 2a (a – 1) + 3 (a – 1)}                       = (a – 1) (a – 1) (a2 + 2a + 3)                       = (a – 1)2 (a2 + 2a + 3) (Ans.) প্রশ্ন ১১   a3 - a2 - 10a - 8 সমাধান : মনে করি, ƒ(a)     = a3 - a2 - 10a - 8                             ƒ(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 10(-1) - 8                                         = - 1 - 1 + 10 - 8                                         = - 10 + 10 = 0                 ∴ a - (-1) বা, (a + 1), ƒ(a)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 - a2 - 10a - 8

                      = a3 + a2 - 2a2 - 2a - 8a - 8                       = a2(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)                       = (a + 1)(a2 - 2a - 8)                       = (a + 1)(a2 - 4a + 2a - 8)                       = (a + 1){a(a - 4) + 2(a - 4)}                       = (a + 1)(a - 4)(a + 2) (Ans.)   প্রশ্ন ১২   x3 - 3x2 + 4x - 4 সমাধান : ধরি, f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 4                   ∴ f(2)  = (2)3 – 3(2)2 + 4.2 – 4                               = 8 – 12 + 8 – 4 = 16 – 16 = 0                 ∴ (x – 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 – 3x2 + 4x – 4                       = x3 – 2x2 – x2 + 2x + 2x – 4                       = x2(x – 2) – x(x – 2) + 2(x – 2)                       = (x – 2)(x2 – x + 2) (Ans.) প্রশ্ন ১৩   a3 - 7a2b + 7ab2 - b3 সমাধান : ধরি, ƒ(a)     = a3 - 7a2b + 7ab2 - b3                   ∴ ƒ(b)  = (b)3 - 7(b)2.b + 7(b)b2 - b3                                 = b3 - 7b3 + 7b3 - b3 = 0                 ∴ (a - b), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 - 7a2b + 7ab2 - b3                       = a3 - a2b - 6a2b + 6ab2 + ab2 - b3                       = a2(a – b) - 6ab(a - b) + b2(a - b)                       = (a - b)(a2 - 6ab + b2) (Ans.) প্রশ্ন ১৪   x3 - x - 24 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = x3 - x - 24                     ∴ ƒ(3)  = (3)3 - 3 - 24 = 27 - 27 = 0                 ∴ (x - 3), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 - x - 24 = x3 - 3x2 + 3x2 - 9x + 8x – 24                       = x2(x - 3) + 3x(x – 3) + 8(x – 3)                       = (x - 3)(x2 + 3x + 8) (Ans.) How to approach SSC General Math Exercise 3.4 problems effectively | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমস্যা সহজভাবে সমাধান করার উপায় প্রশ্ন ১৫   x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 সমাধান : ধরি, f(x)    = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3                 ∴ f(- y) = (– y)3 + 6(– y)2.y + 11(– y).y2 + 6y3                             = – y3 + 6y3 – 11y3 + 6y3                             = 12y3 – 12y3 = 0               ∴ x - (– y) বা, (x + y), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 তাহলে, x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3                         = x3 + x2y + 5x2y + 5xy2 + 6xy2 + 6y3                         = x2 (x + y) + 5xy (x + y) + 6y2 (x + y)                         = (x + y) (x2 + 5xy + 6y2)                         = (x + y) (x2 + 3xy + 2xy + 6y2)                         = (x + y) {x(x + 3y) + 2y(x + 3y)}                         = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (Ans.) প্রশ্ন ১৬   2x4 - 3x3 - 3x - 2 সমাধান : ধরি f(x) = 2x4 – 3x3 – 3x – 2                 ∴ f(2) = 2.(2)4 – 3.(2)3 – 3.2 – 2                              = 32 – 24 – 6 – 2 = 32 – 32 = 0                 ∴ (x - 2), f(x)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 2x4 – 3x3 – 3x – 2                       = 2x4 – 4x3 + x3 – 2x2 + 2x2 – 4x + x – 2                       = 2x3 (x – 2) + x2 (x – 2) + 2x (x – 2) +1 (x – 2)                       = (x – 2) (2x3 + 2x + x2 + 1)                       = (x – 2) {2x (x2 + 1) + 1 (x2 + 1)}                       = (x – 2) (x2 + 1) (2x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৭   4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2                     ∴ ƒ(-1)   =  4(-1)4 + 12(-1)3 + 7 (-1)2 - 3(-1) - 2                                 = 4 - 12 + 7 + 3 - 2 = 14 - 14 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2                       = 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 - x2 - x - 2x - 2                       = 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1)                       = (x + 1)(4x3 + 8x2 - x - 2)                       = (x + 1){4x2(x + 2) - 1(x + 2)}                       = (x + 1)(x + 2)(4x2 - 1)                       = (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x - 1)                       = (2x - 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৮   x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x সমাধান : ধরি,  f(x)         = x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x                 ∴ f(1)  = (1)6 – (1)5 + (1)4 – (1)3 + (1)2 – 1                             = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 3 – 3 = 0                 ∴ (x – 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x                       = x(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)                       = x{x4 (x – 1) + x2 (x – 1) + 1(x – 1)}                       = x(x – 1) (x4 + x2 + 1)                       = x(x – 1) {(x2)2 + 2.x2.1 + (1)2 – x2}                       = x(x – 1) {(x2 + 1)2 – (x)2}                       = x(x – 1) (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)                       = x(x – 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (Ans.)   প্রশ্ন ১৯   4x3 - 5x2 + 5x - 1 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 4x3 - 5x2 + 5x - 1 ∴ = = = = = = 0                 ∴   বা, (4x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 4x3 - 5x2 + 5x - 1                       = 4x3 - x2 - 4x2 + x + 4x - 1                       = x2(4x - 1) - x(4x - 1) + 1(4x - 1)                       = (4x - 1)(x2 - x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ২০ 18x3 + 15x2 - x - 2 সমাধান :   ধরি, ƒ(x) = 18x3 + 15x2 - x - 2 ∴                                 =                                 =                                 =                                 = = = 0              ∴   বা, (2x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 18x3 + 15x2 - x - 2                       = 18x3 + 9x2 + 6x2 + 3x - 4x - 2                       = 9x2 (2x + 1) + 3x(2x + 1) - 2(2x + 1)                       = (2x + 1)(9x2 + 3x - 2)                       = (2x + 1)(9x2 - 3x + 6x - 2)                       = (2x + 1){3x(3x - 1) + 2(3x - 1)}                       = (2x + 1)(3x - 1)(3x + 2) (Ans.) SSC general math exercise 3.2 solution  Read the full article

[toneacademy]

Remainder Theorem Based On Multiplication | Number System | Part-11 | Vinay | Tone Academy This video deals with * Number System problems of remainder theorem concept * Based on multiplication, factorial and power #numberSystem #EvenNumbers #OddNumbers #NaturalNumbers #WholeNumbers #Integers  #PrimeNumbers #RationalNumbers #IrrationalNumbers #ComplexNumbers #DecimalDivisibility #remainderTheorem For any queries/doubts/information - we are just an email away - mail us @ askme@toneacademy.in Subscribe to : https://bit.ly/2YQOgbs https://www.youtube.com/playlist?list...

[flyological]

Divisors | भाजक | Factors | गुणनखंड | Number System Concept | संख्या पद्धति

[speedywonderlandtrash]

SSC general math exercise 3.4 solution

SSC general math exercise 3.4 solution

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) :                 আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ                 যদি আমরা ভাজ্যকে ƒ(x), ভাগফলকে h(x),ভাগশেষকে r  ও ভাজককে (x - a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,                 ƒ(x) = (x - a).h(x) + r এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।                   অতএব, ƒ(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ(a) এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী ƒ(x)  কে (x - a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। ভাজক বহুপদী (x - a) এর মাত্রা 1।                 প্রতিজ্ঞা : যদি ƒ(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় হয়।                অনুসিদ্ধান্ত : (x - a), ƒ(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়।                 কোনো বহুপদী ƒ(x), (x - a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য  (Factor theorem) নামে পরিচিত।                 অনুসিদ্ধান্ত : ax + b, a ≠ 0  হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী ƒ(x এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি হয়।   Step-by-step solutions for SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ এর সহজ ও বিস্তারিত সমাধান   উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : প্রশ্ন ১ 6x2 - 7x + 1 সমাধান :   ধরি, ƒ(x)   = 6x2 - 7x + 1                     ∴  ƒ(1)  = 6(1)2 - 71 + 1                                  = 61 - 7 + 1 = 6 - 7 + 1 = 7 - 7 = 0                 ∴ (x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 6x2 - 7x + 1 = 6x2 - 6x - x + 1                        = 6x (x - 1) - 1(x - 1) = (x - 1) (6x - 1)                        = (6x - 1)(x - 1) (Ans.) প্রশ্ন ২   3a3 + 2a + 5 সমাধান : ধরি, ƒ(a) = 3a3 + 2a + 5                  ∴ ƒ(-1)  = 3(-1)3 + 2(-1) + 5                                 = - 3 - 2 + 5 = - 5 + 5 = 0                 ∴ (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 3a3 + 2a + 5                        = 3a3 + 3a2 - 3a2 - 3a + 5a + 5                        = 3a2(a + 1) - 3a(a + 1) + 5(a + 1)                        = (a + 1)(3a2 - 3a + 5) (Ans.) প্রশ্ন ৩   x3 - 7xy2 - 6y3 সমাধান : এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।                 প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে                 ধরি, ƒ(x) = x3 - 7xy2 - 6y3                   ∴ ƒ(-y)  = (-y)3 - 7×(-y)y2 - 6y3                                  = - y3 + 7y3 - 6y3 = 0                 ∴ x - (-y) বা, (x + y), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 - 7xy2 - 6y3                       = x3 + x2y - x2y - xy2 - 6xy2 - 6y3                       = x2(x + y) - xy(x + y) - 6y2(x + y)                       = (x + y)(x2 - xy - 6y2)                       = (x + y)(x2 - 3xy + 2xy - 6y2)                       = (x + y){x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}                       = (x + y)(x - 3y)(x + 2y) (Ans.) প্রশ্ন ৪   x2 - 5x – 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x) = x2 - 5x - 6                  ∴ƒ(-1)  = (-1)2 - 5(-1) - 6                                 = 1 + 5 - 6 = 6 - 6 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ƒ(x)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x2 - 5x – 6                        = x2 + x - 6x - 6 = x(x + 1) - 6(x + 1)                        = (x + 1)(x - 6) = (x - 6)(x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ৫ 2x2 - x - 3 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 2x2 - x - 3                 ∴  ƒ(-1) = 2(-1)2 - (-1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 3 - 3 = 0                 ∴ {x - (-1)} বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 2x2 - x - 3 = 2x2 + 2x - 3x - 3                       = 2x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(2x - 3)                       = (2x - 3)(x + 1) (Ans.)   প্রশ্ন ৬ 3x2 - 7x - 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 3x2 - 7x - 6                    ∴ ƒ(3) = 3.(3)2 - 7.(3) - 6                                = 3 ´ 9 - 21 - 6 = 27 - 27 = 0                 ∴ (x - 3), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 3x2 - 7x - 6 = 3x2 - 9x + 2x - 6                        = 3x(x - 3) + 2(x - 3) = (x - 3)(3x + 2) (Ans.) Easy examples for solving SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমাধানে সহজ উদাহরণ প্রশ্ন ৭ x3 + 2x2 - 5x - 6 সমাধান : ধরি, ƒ(x)      = x3 + 2x2 - 5x - 6                   ∴ ƒ(-1)  = (-1)3 + 2(-1)2 - 5(-1) - 6                                  = - 1 + 2 + 5 - 6 = 7 - 7 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 + 2x2 - 5x - 6                       = x3 + x2 + x2 + x - 6x - 6                       = x2(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)                       = (x + 1)(x2 + x - 6)                       = (x + 1)(x2 + 3x - 2x - 6)                       = (x + 1){x(x + 3) - 2(x + 3)}                       = (x + 1)(x + 3)(x - 2)                                 = (x - 2)(x + 1)(x + 3) (Ans.) প্রশ্ন ৮   x3 + 4x2 + x - 6 সমাধান :   মনে করি, ƒ(x)   = x3 + 4x2 + x - 6                              ∴ ƒ(1) = (1)3 + 4(1)2 + (1) - 6                                          = 1 + 4 + 1 - 6 = 6 - 6 = 0                 ∴ (x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 + 4x2 + x - 6                       = x3 - x2 + 5x2 - 5x + 6x - 6                       = x2(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1)                       = (x - 1)(x2 + 5x + 6)                       = (x - 1)(x2 + 3x + 2x + 6)                       = (x - 1){x(x + 3) + 2(x + 3)}                       = (x - 1)(x + 3)(x + 2)                       = (x - 1)(x + 2)(x + 3) (Ans.) প্রশ্ন ৯ a3 + 3a + 36 সমাধান : মনে করি,�� f(a)     = a3 + 3a + 36                              f(- 3)  = ( – 3)3 + 3 (– 3) + 36                                         = – 27 – 9 + 36 = 36 – 36 = 0                 ∴  a – (– 3) বা, (a + 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 + 3a + 36                       = a3 + 3a2 – 3a2 – 9a + 12a + 36                       = a2(a + 3) – 3a(a + 3) + 12(a + 3)                       = (a + 3) (a2 – 3a + 12) (Ans.) প্রশ্ন ১০   a4 - 4a + 3 সমাধান : মনে করি, f(a)    = a4 – 4a + 3                           ∴  f(1)  = (1)4 – 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 4 – 4 = 0                 ∴  (a – 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a4 – 4a + 3                       = a4 – a3 + a3 – a2 + a2 – a – 3a + 3                       = a3(a – 1) + a2(a – 1) + a(a – 1) – 3 (a – 1)                       = (a – 1) (a3 + a2 + a – 3)                       = (a – 1) (a3 – a2 + 2a2 – 2a + 3a – 3)                       = (a – 1) {a2(a – 1) + 2a (a – 1) + 3 (a – 1)}                       = (a – 1) (a – 1) (a2 + 2a + 3)                       = (a – 1)2 (a2 + 2a + 3) (Ans.) প্রশ্ন ১১   a3 - a2 - 10a - 8 সমাধান : মনে করি, ƒ(a)     = a3 - a2 - 10a - 8                             ƒ(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 10(-1) - 8                                         = - 1 - 1 + 10 - 8                                         = - 10 + 10 = 0                 ∴ a - (-1) বা, (a + 1), ƒ(a)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 - a2 - 10a - 8

                      = a3 + a2 - 2a2 - 2a - 8a - 8                       = a2(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)                       = (a + 1)(a2 - 2a - 8)                       = (a + 1)(a2 - 4a + 2a - 8)                       = (a + 1){a(a - 4) + 2(a - 4)}                       = (a + 1)(a - 4)(a + 2) (Ans.)   প্রশ্ন ১২   x3 - 3x2 + 4x - 4 সমাধান : ধরি, f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 4                   ∴ f(2)  = (2)3 – 3(2)2 + 4.2 – 4                               = 8 – 12 + 8 – 4 = 16 – 16 = 0                 ∴ (x – 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 – 3x2 + 4x – 4                       = x3 – 2x2 – x2 + 2x + 2x – 4                       = x2(x – 2) – x(x – 2) + 2(x – 2)                       = (x – 2)(x2 – x + 2) (Ans.) প্রশ্ন ১৩   a3 - 7a2b + 7ab2 - b3 সমাধান : ধরি, ƒ(a)     = a3 - 7a2b + 7ab2 - b3                   ∴ ƒ(b)  = (b)3 - 7(b)2.b + 7(b)b2 - b3                                 = b3 - 7b3 + 7b3 - b3 = 0                 ∴ (a - b), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, a3 - 7a2b + 7ab2 - b3                       = a3 - a2b - 6a2b + 6ab2 + ab2 - b3                       = a2(a – b) - 6ab(a - b) + b2(a - b)                       = (a - b)(a2 - 6ab + b2) (Ans.) প্রশ্ন ১৪   x3 - x - 24 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = x3 - x - 24                     ∴ ƒ(3)  = (3)3 - 3 - 24 = 27 - 27 = 0                 ∴ (x - 3), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x3 - x - 24 = x3 - 3x2 + 3x2 - 9x + 8x – 24                       = x2(x - 3) + 3x(x – 3) + 8(x – 3)                       = (x - 3)(x2 + 3x + 8) (Ans.) How to approach SSC General Math Exercise 3.4 problems effectively | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমস্যা সহজভাবে সমাধান করার উপায় প্রশ্ন ১৫   x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 সমাধান : ধরি, f(x)    = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3                 ∴ f(- y) = (– y)3 + 6(– y)2.y + 11(– y).y2 + 6y3                             = – y3 + 6y3 – 11y3 + 6y3                             = 12y3 – 12y3 = 0               ∴ x - (– y) বা, (x + y), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 তাহলে, x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3                         = x3 + x2y + 5x2y + 5xy2 + 6xy2 + 6y3                         = x2 (x + y) + 5xy (x + y) + 6y2 (x + y)                         = (x + y) (x2 + 5xy + 6y2)                         = (x + y) (x2 + 3xy + 2xy + 6y2)                         = (x + y) {x(x + 3y) + 2y(x + 3y)}                         = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (Ans.) প্রশ্ন ১৬   2x4 - 3x3 - 3x - 2 সমাধান : ধরি f(x) = 2x4 – 3x3 – 3x – 2                 ∴ f(2) = 2.(2)4 – 3.(2)3 – 3.2 – 2                              = 32 – 24 – 6 – 2 = 32 – 32 = 0                 ∴ (x - 2), f(x)  এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 2x4 – 3x3 – 3x – 2                       = 2x4 – 4x3 + x3 – 2x2 + 2x2 – 4x + x – 2                       = 2x3 (x – 2) + x2 (x – 2) + 2x (x – 2) +1 (x – 2)                       = (x – 2) (2x3 + 2x + x2 + 1)                       = (x – 2) {2x (x2 + 1) + 1 (x2 + 1)}                       = (x – 2) (x2 + 1) (2x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৭   4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2                     ∴ ƒ(-1)   =  4(-1)4 + 12(-1)3 + 7 (-1)2 - 3(-1) - 2                                 = 4 - 12 + 7 + 3 - 2 = 14 - 14 = 0                 ∴ x - (-1) বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2                       = 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 - x2 - x - 2x - 2                       = 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1)                       = (x + 1)(4x3 + 8x2 - x - 2)                       = (x + 1){4x2(x + 2) - 1(x + 2)}                       = (x + 1)(x + 2)(4x2 - 1)                       = (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x - 1)                       = (2x - 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৮   x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x সমাধান : ধরি,  f(x)         = x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x                 ∴ f(1)  = (1)6 – (1)5 + (1)4 – (1)3 + (1)2 – 1                             = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 3 – 3 = 0                 ∴ (x – 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x                       = x(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)                       = x{x4 (x – 1) + x2 (x – 1) + 1(x – 1)}                       = x(x – 1) (x4 + x2 + 1)                       = x(x – 1) {(x2)2 + 2.x2.1 + (1)2 – x2}                       = x(x – 1) {(x2 + 1)2 – (x)2}                       = x(x – 1) (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)                       = x(x – 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (Ans.)   প্রশ্ন ১৯   4x3 - 5x2 + 5x - 1 সমাধান : ধরি, ƒ(x)     = 4x3 - 5x2 + 5x - 1 ∴ = = = = = = 0                 ∴   বা, (4x - 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 4x3 - 5x2 + 5x - 1                       = 4x3 - x2 - 4x2 + x + 4x - 1                       = x2(4x - 1) - x(4x - 1) + 1(4x - 1)                       = (4x - 1)(x2 - x + 1) (Ans.) প্রশ্ন ২০ 18x3 + 15x2 - x - 2 সমাধান :   ধরি, ƒ(x) = 18x3 + 15x2 - x - 2 ∴                                 =                                 =                                 =                                 = = = 0              ∴   বা, (2x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।                 এখন, 18x3 + 15x2 - x - 2                       = 18x3 + 9x2 + 6x2 + 3x - 4x - 2                       = 9x2 (2x + 1) + 3x(2x + 1) - 2(2x + 1)                       = (2x + 1)(9x2 + 3x - 2)                       = (2x + 1)(9x2 - 3x + 6x - 2)                       = (2x + 1){3x(3x - 1) + 2(3x - 1)}                       = (2x + 1)(3x - 1)(3x + 2) (Ans.) SSC general math exercise 3.2 solution  Read the full article

[flyological]

Number System | संख्या पद्धति | Remainder | श���षफल प्रमेय | Part 3 | Basic to Advance

number system, number system tricks, number system in hindi, number system concept, number system question, number system for ssc cgl, number system questions, number system for ssc chsl, binary number system, number system aptitude, remainder theorem, remainder theorem proof, the remainder theorem, flyological

[flyological]

Number System | संख्या पद्धति | Remainder Theorem | शेषफल प्रमेय | Part 2 | Basic to Advance

number system, number system tricks, number system in hindi, number system concept, number system question, number system for ssc cgl, number system questions,

[flyological]

Number System | संख्या पद्धति | Remainder Theorem | शेषफल प्रमेय | Part 1 | Basic to Advance