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Mittelwert und Varianz

Mittelwert und Varianz diskreter Zufallsgrößen mit endlicher Ergebnismenge zu berechnen ist eine Standardaufgabe. Dabei helfen die vielfältigen Statistik-Funktionen des CAS nur bedingt weiter. Besser man hält sich an die Definitionen und ein paar Grundfunktionen. Daher betrachte ich zunächst den Befehl für das arithmetische Mittel: mean. Dieser Befehl kann schon beim Berechnen des Durchschnitts einer Klassenarbeit nützlich sein, wenn der Zensurenspiegel bekannt ist. Aus diesem Anlass erkläre ich ihn auch meinen Schülerinnen und Schülern :-)

Im Falle von Wahrscheinlichkeiten ergibt die Summe der zweiten Liste genau eins. Dann sind die Teile gleich den Anteilen, was zu leichter verständlichen Berechnungen führt.

Nun zu einem ersten Beispiel, bei dem die Formeln für Erwartungswert und Varianz vorgestellt werden, obwohl sie noch nicht unbedingt nötig sind. In einer Liste erg wird die Ergebnismenge der Zufallsgröße notiert, in einer zweiten Liste wsk die zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Bei Gleichverteilung ist der Erwartungswert gleich dem Mittelwert der Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann (hier: Augenzahlen beim Würfeln). Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert. Die alternativ angegebenen Berechnungen sind die allgemein gültigen gemäß den Definitionen von Erwartungswert und Varianz. Sie benutzen entweder die Multiplikation zweier Listen mit anschließender Summierung oder, äquivalent dazu, das gewichtete arithmetische Mittel, wie oben erklärt. Im zweiten Beispiel werden die Einzelwahrscheinlichkeiten nun wirklich gebraucht:

Angegeben ist hier auch die äquivalente Formel Var(X)=E(X²)-(E(X))².

Wenn man sich die Formeln für die Varianz nicht merken möchte, kann man alternativ einen Statistik-Befehl (varPop) verwenden:

Wie schon notiert, kann die Liste wsk hierfür nicht direkt verwendet werden, sondern muss durch einen geeigneten Faktor “erweitert” werden, sodass nur noch ganzzahlige Werte vorliegen. Bei dezimalen Werten kann dies immer eine hinreichend große Zehnerpotenz sein. Bei dem zweiten Beispiel oben müsste man allerdings den Hauptnenner der Einzelwahrscheinlichkeiten verwenden.

Die Populations-Varianz ist nach Definition genau das arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert bei einer Stichprobe mit Häufigkeitsliste. Dazu noch ein abstrakteres Beispiel, welches die Gleichheit verdeutlicht. Es wird exemplarisch die Häufigkeitsliste {1,2,3} verwendet:

Die Populations-Varianz wird auch empirische Varianz genannt und erwartet als zweite Liste die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse. Daher kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht direkt benutzt werden

Die beiden Statistik-Funktionen varSamp bzw. stDevSamp (deutsch:Stichproben-Varianz bzw. Stichproben-Standaradabweichung) implementieren die korrigierten Größen [mit dem Faktor 1/(n-1) statt 1/n ] und sind hier im Kontext der Zufallsgrößen nicht zu gebrauchen. Der eigentliche Zweck dieser Befehle ist ja auch die Auswertung von Stichproben bzw. Vollerhebungen und nicht die Berechnung von Erwartungswert, Varianz  oder Standardabweichung bei einer Zufallsgröße.

Es ist daher didaktisch nicht unbedingt zweckmäßig, sie in diesem Zusammenhang einzuführen. Auch kann auf den mean-Befehl komplett verzichtet werden, weil sum() ausreicht. Jedoch ist die Analogie Mittelwert vs. Erwartungswert recht intuitiv anwendbar.

Der Schwerpunkt bei der Lösung von Schulbuchaufgaben liegt ohnehin meist auch auf der richtigen Ermittlung der Ergebnismengen (z.B. Gewinne bei einem Glücksspiel) und der Einzelwahrscheinlichkeiten. Eine typische Frage ist dann zum Beispiel, ob das Spiel fair ist, das heißt, ob der Erwartungswert des Gewinns null ist.

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Arithmetik mit komplexen Zahlen

Auf folgenden scheinbaren Widerspruch wies mich kürzlich ein Schüler hin:

Die Ausgabe der komplexen Zahl (-4)^(2/3) hängt offenbar davon ab, wie der gebrochene Exponent eingegeben wird. Beide genannten Zahlen 8i und -8i sind korrekt, denn (8i)²=(-8i)²=-64 und (-4)³=-64. Leider führt eine Probe mit dem ti nicht zu dem gewünschten Ergebnis:

Wiederum sind die beiden ausgegebenen Zahlen nicht falsch, denn ihre dritte Potenz ist jeweils -64. Die naheliegende Zahl -4 wird jedoch nicht angegeben.

Um diese zu erklären, muss die Mehrdeutigkeit des Wurzelziehens im Komplexen betrachtet werden. Leider ist der ti nspire (zumindest in der Software-Version 3.9.) dabei nur ansatzweise behilflich:

Erst wenn die Gleichung zu z² = -64 umgestelt wird, liefert cSolve die beiden Ergebnisse 8i und -8i. Das ist insgesamt leider ziemlich unbefriedigend.

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Abstand zweier Geraden ohne Skalarprodukt

Mit Hilfe des CAS-Werkzeugs fmin kann bequem der Abstand zweier Geraden im R³ berechnet werden, ohne das Skalarprodukt zu verwenden: Bei gegebener Paramtergleichung für die Geraden g1 und g2, kann die Bestimmung des minimalen Abstands zweier Punkte der Geraden (was einer Extremwertaufgabe mit zwei Veränderlichen entspricht) in zwei Schritten erfolgen:

Zuerst wird der Parameter s bestimmt, für den g1(s) jeweils den Punkt mit minimalen Abstand zu einem beliebigen Punkt g2(t) angibt. Danach wird unter Verwendung dieses Parameterwertes s der Parameterwert t für den absolut kleinsten Abstand berechnet. Die Berechnung der Lotfußpunkte und des Abstandes erfolgt danach unter Verwendung der gefundenen Werte:

Das Beispiel ist so gewählt, dass das Ergebnis direkt nachvollziehbar ist. Bei sich schneidenden Geraden wird der Abstand richtig mit null angegeben und auch bei parallelen Geraden funktioniert das Verfahren in dieser Form.

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Kann man mit dem ti nspire den Winkel zwischen zwei Vektoren direkt ausrechnen?

Nein, das geht bislang nicht. Am leichtesten dürfe es daher mit dem Skalarprodukt: dotP( . , . ), dem Betrag: norm( . ) und dem Arcuskosinus: cos⁻¹ funktionieren.

Als "fertige" Lösung könnte man selbst eine Funktion definieren:

Die so definierte Funktion phi  kann Zeilen- oder Spaltenvektoren - auch in höheren Dimensionen als 2 oder 3 - auswerten und liefert den Winkel zwischen beiden Vektoren gemäß der Definition des Skalarprodukts.(Dagegen liefert der Befehl angle(z) beim nspire das Argument einer komplexen Zahl z.)

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GeoGebra-Applets auf GeoGebraTube.org

Eine große Materialsammlung - interaktiv zum Mitmachen: http://www.geogebratube.org/

Meine ersten Beiträge dort mit Anregungen zum Thema Linearkombinationen zweier Vektoren.

Teil 1: zum "Experimentieren" http://www.geogebratube.org/student/m50534?mobile=true

Teil 2: mit einer Idee zur Herleitung einer speziellen Eigenschaft http://www.geogebratube.org/student/m50532?mobile=true (erfordert JavaScript, verlinkt sind HTML5-Seiten, nicht die Java-Applets.)

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bzw. deutlich die Unterschiede für das CAS klären, wie etwa in diesem Beispiel:

Die Koordinaten des Nullpunktes werden für beide Funktionen nicht exakt angegeben (es werden nur Näherungswerte ermittelt)..

Die Nullstelle wird nur in der Darstellung mit gemeinen Brüchen exakt berechnet, obwohl die beiden Funktionen insgesamt als identisch erkannt werden. Noch einfacher können die Unterschiede beim Vergleich von gemeinen Brüchen mit Dezimalbrüchen gezeigt werden:

Fehlvorstellungen können durch solche Ausgaben gefördert werden, wenn sie nicht angesprochen werden.

Man muss dabei allerdings beachten, dass die genutzten Zahlen auch exakte Zahlen sind, also man muss versuchen symbolisch zu arbeiten, sprich nicht 2.5 nutzen sondern 5/2

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CAS und Operatoren in Mathematikaufgaben

Die Nutzung von CAS zur Lösung von Aufgaben der Schulmathematik führt regelmäßig zu Diskussionen darüber, welche Lösungswege zulässig sind und welche Erwartung an die Dokumentation der Schülerlösung gestellt werden.  Eine besondere Rolle spielen dabei die sogenannten Operatoren, die eben dies signalisieren (sollen). Eine Liste mit Operatoren und Aufgabenbeispielen findet sich hier: Schulportal Thüringen Das Beispiel Ma(4) soll exemplarisch betrachtet werden:

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem. (I) y = 2x +1 (II) y = -x + 4 Bestimme die Lösungsmenge. Zum Operator "bestimmen" (bzw. "ermitten") lautet die Beschreibung: rechnerische, graphische oder inhaltliche Generierung eines Ergebnisses Als mögliche Dokumentation wird vorgeschlagen: 1) z.B. rechnerisch: 2x + 1 = -x + 4 3x = 3 x = 1 y = 3 L ={(1;3)}. Mit Hilfe eines CAS könnte ein Schüler aber auch direkt angeben: Lösung des Gleichungssystems mit CAS: x=1 und y=3. Lösungsmenge {(1;3)}.

2) z.B. grafisch: Zeichnung, Koordinaten des Schnittpunktes, Lösungsmenge. Bei Verwendung von CAS könnte ein Schüler angeben:  f1(x)=2x+1 und f2(x)=-x+4 grafisch darstellen -> Schnittpunkt (1;3), Lösungsmenge {(1;3)}. Die Zeichnung des CAS würde in der Dokumentation entbehrlich sein, da nur die Koordinaten des Schnittpunktes interessieren.

Fazit: Wenn ein CAS als Hilfsmittel zugelassen ist, muss die Aufgabenstellungen sorgfältig formuliert werden, damit die Lösung einer Aufgabe nicht auf reine "Werkzeugkompetenz" reduziert wird. Vorschlag: Bei "Berechnen" kann konkretisiert werden durch "näherungsweise" oder "exakt". Letzteres schließt einige (u.a. grafische) Methoden des CAS unter Umständen aus.

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Wie geht das?

Na so! Einfach rechts oben eine Frage stellen (“ask me anything”) oder einen eigenen Beitrag einreichen :-)

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Schnittpunkt zweier Geraden im R³

Eine Standardaufgabe aus der analytischen Geometrie:

Gegeben sind die Punkte A( 1 | -2 | 3 ), B( -3 | 4 | 5 ), C( -1 | 2 | -3 ) und D( 7-2√2 | -10+4√2 | -7-6√2 ). Untersuchen Sie, ob sich die Geraden AB und CD schneiden. Berechnen Sie gegebenenfalls die exakten Koordinaten des Schnittpunktes.

Es ist im Allgemeinen eine gute Idee, für Standardaufgaben eine passende Vorlage in notes zu verwenden:

Koordinaten von Punkten werden mit den Ortsvektoren (aus Platzgründen als Zeilenvektoren geschrieben) identifiziert. Verbindungsvektoren zweier Punkte können damit bequem definiert werden. Sie dienen im folgenden als Richtungsvektoren der Geraden durch die jeweiligen Punkte.

Zur Kontrolle kann man sich die Parameterdarstellung anzeigen lassen oder eine Punktprobe vornehmen.

Zur Bestimmung eines möglichen Schnittpunktes genügt es, die beiden Parameterdarstellungen gleichzusetzen und die (Vektor-)Gleichung mittels solve zu lösen. Falls ein Schnittpunkt existiert, können dessen Koordinaten durch Einsetzen der gefundenen Lösungen in die jeweils zugehörige Gleichung  ermittelt werden.

Die doppelte Berechung dient auch als eine Probe. Dieses Verfahren kann "automatisiert" weden. Dabei hilft der Einsetzungsoperator " | "

Mögliche Fehler durch Vertauschen der Parameter können so leicht aufgedeckt werden. Ein grober Fehler wäre jedoch, den Ansatz g1(t)=g2(t) zu verwenden, welcher nur in Ausnahmefällen zur richtigen Lösung führt. Falls keine Lösung existiert, erhält man als Ausgabe:

Natürlich können die erforderlichen Eingaben und Berechnungen auch im calculator vorgenommen werden. Die Wiederholung der Rechung für ein zweites Beispiel ist dann aber erheblich aufwändiger und insgesamt weniger übersichtlich.

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Binomialverteilung und "dreimal mindestens" Aufgaben

Betrachtet wird eine Bernoulli-Kette der Länge n. Typische Aufgaben, in denen n gesucht ist, lauten etwa so:

Wie viele Versuche benötigt man mindestens, um bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p=0.3 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 5 Treffer zu erreichen?

Die Binomialverteilung kann mit Befehlen der Art binomPdf und binomCdf oft nur näherungsweise berechnet werden. Für eine exakte Formel ist es Im allgemeinen eine gute Idee, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu betrachten, also "höchstens 4" statt "mindestens 5" Treffer: Der Versuch die Aufgaben mit Hilfe der fertigen Formeln per solve zu lösen scheitert daher grundsätzlich. Die exakte Formel kann helfen:Dieser Weg, eine letztlich sehr komplizierte Gleichung per solve lösen zu lassen, wobei zuvor die Bernoulli-Formel eingegeben wird, ist nicht unbedingt schneller, als gleich auf die Näherungsformel und systematisches Probieren zu setzen:

Der Befehl seq() gestattet die Ausgabe der Wahrscheinlichkeiten für verschiedene n in einer Liste. So kann man schnell die richtige Lösung ablesen.

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Simulation von Bernoulli-Ketten

Zufallsexperimente wie zum Beispiel das zehnmalige Werfen einer Münze können mit Hilfe von (Pseudo-)Zufallszahlen simuliert werden. Dazu sind die Befehle randInt und randBin hilfreich (Der Befehl RandSeed initialisiert den Zufallsgenerator, das ist nicht unbedingt notwendig):

Zur Veranschaulichung der Ergebnisse der Simulation bietet es sich an, die Liste in der Applikation Lists&Spreadsheet zu erzeugen. Wichtig dabei: Der Liste bzw. Spalte wird ein selbstgewählter Name (etwa: sim_list) gegeben, der Befehl steht in der zweiten Zeile:

Ein Diagramm aus einer einzelnen Liste wird am einfachsten durch den Befehl SchnellGraph erzeugt:

Es erscheint zunächst ein sogenanntes Punktdiagramm im geteilten Bildschirm (jedem Einzelergebnis entspricht ein Punkt):

Zwischen beiden Bildschirmhälften kann per Maus oder mit der Tastenkombination [ctrl]+[tab] gewechselt werden. Im rechten Bereich der Data&Statistics Anwendung können verschiedene Änderungen vorgenommen werden, etwa die Darstellung Histogramm auswählen, Anpassungen der Skalen, der Farben usw.. Befindet man sich links im Bereich der Tabelle, so kann durch [ctrl]+[R] eine Neuberechung, also eine neue Simulation gestartet werden, die rechts sofort angezeigt wird.

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Hilfe bei verschiedenen Problemen rund um den ti nspire (englischsprachig), zum Beispiel

Reset des Bestriebssystems

Update des Betriebssystems

Benutzung des Press-to-test Modus (z. B. für Klausuren)

Abbruch einer Berechung

Das Finden einer Lösung in der Knowledge Base dauert oft länger als die Erklärung. Übersetzungen / Kurzfassungen sind erwünscht...

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http://www.casinth.rhuste.de/

Veröffentlichungen der CAS-Moderatorengruppe Thüringen.