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takahashicleaning · 10 months ago

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ＴＥＤにて

ビル・シリト：マトリックス（行列）の作り方と足し算、掛け算

（詳しくご覧になりたい場合は上記リンクからどうぞ）

経済学や暗号学、３Dグラフィックスのように、大量の数字を扱う問題に取り組んでいるとき、それらの数字を格子、つまり、行列（マトリックス）にまとめると便利です。

行列（マトリックス）の足し算、引き算、掛け算（割り算はできませんよ！）の計算方法とコツを、ビル・シリトが示してくれます。

講師：ビル・シリト、アニメーション：The Leading Sheep Studios ＊このビデオの教材：http://ed.ted.com/lessons/how-to-organize-add-and-multiply-matrices-bill-shillito

そろそろお分かりでしょう。人生で何をしようとも数字が必要です。ですが、特に、ある分野では、少しどころか大量の数字が必要です。これらの数字は、どう管理すればよいでしょうか。

過去に遡ってみると古代中国の頃、数学者たちは、何列もある大量の数字を一度に表現する方法を思いつきました。

今日では、その並びを「行列（matrix）」複数なら「matrices」と呼んでいます。

「マトリックス（行列）は、至るところにある。我々を四方八方から囲み、今でさえ、まさにこの部屋の中にもだ（映画のマトリックスのセリフ）」

失礼、話を戻しましょう。それでも、事実、行列は至るところに存在します。使われるのは、ビジネス界。経済学、暗号学、物理学、電子工学、コンピュータ・グラフィックスなどです。量子力学のディラック方程式や対称性にも。

これに注目した量子力学の巨人の一人、ポールディラック��量子に導入して、もう一人の巨人であるシュレーディンガー方程式と相対性理論を構築した巨人のアインシュタインの理論を融合しました。

二つある内の一つ。特殊相対性理論の方をシュレーディンガー方程式と融合し、ディラック方程式なるものを構築しています。

ここから「対称性」＝「美（数式美）」の哲学が確立しました。

これが相対的な量子の相互作用を数式で表現できる「場の量子論」発展のキッカケになります。

もう一つの一般相対性理論は、Super String Theory（スーパーストリング理論）やループ重力理論など有望な理論で構築されようとしています。

行列（マトリックス）が、素晴らしい理由の一つは、その中に、沢山の情報を詰め込むことができて、膨大な数の異なる問題から成るまとまりを、たった１つの問題に、帰着できることです。さて、行列（マトリックス）を使うには、計算方法を学ぶ必要があります。

実は、行列（マトリックス）を普通の数のように扱うこともできるんですよ。足し算、引き算、掛け算もできます。割り算は無理ですが、説明は、泥沼になるので割愛します。行列同士の足し算は、実に簡単です。各行列の同じ場所にある成分を順番通りに足していけばよいのです。

よって、最初の成分同士を足し合わせます。２番目の値、３番目、同様に続けます。当然、同じ大きさの行列同士でないと足せませんが、だいたい直感的に分かることでしょう。行列全体にスカラーと呼ばれる数字を掛けることもできます。その数字を各成分に掛けるだけです。

ですが、お待ちを。まだありますよ！ある行列に別の行列を掛けることができるんです。けれども、足し算とは違い、成分ごとに掛けるのではありません。もっと独特です。コツが分かれば、とても面白いですよ。頭の体操でパズルを解きながら現実的な結果も得られるし、このように計算します。行列が２つあるとしましょう。

両方とも、２x２の大きさだとします。つまり、それぞれ２行２列の行列だということです。最初の行列を左に、２番目の行列を隣に書くことにして少し上に移動させます。Excelで表を作っているような感じです。行列を掛けたときに、得られる積は、右側に置きます。

分かり易くするために、現実には実在しない仮想的な格子線も引きますね。さて、最初の行列の最初の行と２番目の行列の最初の列を見て下さい。それぞれ２つの数がどう並んでいますか？行の最初の数字と列の最初の数字を掛けます。

１掛ける２は２。続きもやりますね。３掛ける３は９。次にそれらを足します。２足す９は11ですね。その数字を左上に置き、計算に用いた行や列の位置と合うようにします。分かりますか？他の要素でも同じことができます。-４足す０は-４。４足す -３は１。-��足す０は-８。従ってこれが答えです。

そんなに難しくないでしょう？ただ問題点が１つあります。足し算と同様、行列は適した大きさでなければなりません。これら２つの行列を見て下さい。２掛ける８は16。３掛ける４は12。３掛ける、おっと、２番目の行列にはもう行がありません。使い果たしてしまいました。だから、これらの行列は掛けることができないのです。

最初の行列の列数と２番目の行列の行数が合っていなければなりません。注意深く、寸法（次元）を正しく一致させていれば、とても簡単です。でも、行列の掛け算を理解することは始まりに過ぎません。行列を使ってできることは沢山あります。例えば、秘密のメッセージを暗号化したいとしましょう。

仮に「Math Rules」とします。とは言え、それ自体は秘密にするようなものではないんですけどね。文字を数字で表して、その数字を行列の中に入れ、それから暗号鍵を別の行列に入れます。掛け合わせると暗号化された行列が新しく出来ます。この新たな行列を解読し、メッセージを読む唯一の方法は鍵である。

この２番目の行列を手に入れることです。数学の分野でも行列が頻出する線形代数というものがあります。線形代数を勉強する機会があればやりましょう。なかなか乙なものですよ。

でも、これだけはお忘れなく、一定の訓練は必要だが、行列（マトリックス）の使い方が分かればどんなことでも可能だと。

「これは最後のチャンスだ。（映画のマトリックスのモーフィアスのセリフ）」

「私が見せるのは真実だ。純粋な真実だ！！（映画のマトリックスのモーフィアスのセリフ）」

（個人的なアイデア）

話がそれるが、映画のマトリックスをもう少し。

実は、この映画「Matrix」という言葉には、もう一つの意味があって、密教で説かれる「胎蔵界」という意味もあります。

仏教が描く「蓮華（れんげ）の花」。あれも「マトリックス」です。

預言者オラクルは「ハイヤーセルフ」を表現しています。

「ザイオン」はエルサレム地方の歴史的地名「シオン」から。

続いて

ユダヤ教、キリスト教、イスラム教の三大宗教って、すべて一神教。

数学の群論、トポロジーの圏論で多神教の仏教の視点で俯瞰すると、ある意味、多神教の一形態とも言えるんだよな。

インドでも似たようなのあるからね。ブラフマー神、ヴィシュヌ神、シヴァ神など。

なお、日本では、あまり知られていないヴィシュヌ神は、日々、時空を超越して、同時に姿を変えて人々を救っていたという場の量子論的な特徴があります。

その時のそれぞれの姿は化身を意味する「アヴァターラ」と定義されており、オンラインゲームなどで呼ばれる自分の分身となるキャラクター「アバター」の由来ともされています。

日本では、観自在菩薩に似��いますが、シヴァ神よりも強くて最強。宇宙を維持する役割もあるので、最新物理学では、イメージ的に不確定性原理に近く、スーパーストリング理論や陰陽五行理論も含まれています。

また

２０２４年の映画「オッペンハイマー」から。

これは教科書に載らない歴史です。

映画天才物理学者ロバート・オッペンハイマーの背景を考える！

マンハッタン計画が、アメリカの情報公開法で開示された可能性が高いです。

オリビア・ニュートン・ジョンの祖父のマックス・ボルンは原爆の父のオッペンハイマーの指導教官でした。

マックス・ボルンは、シュレーディンガーが波動方程式をシステマティックに構築したにもかかわらず

波動関数ψ(プサイ)の計算結果が何の概念、解釈を示しているのか？一体何なのかが謎でした。

それに対する波動関数についての最も実用的な回答をこのマックスボルンと言う人が初めて示したことで知られています。

ロバート・オッペンハイマーは、アメリカの物理学者で、原子爆弾開発プログラムのリーダーでした。

彼は、20世紀中における理論物理学の重要な貢献者であり、量子力学、相対性理論、宇宙物理学などの分野で多大な成果を残しました。

彼は、マンハッタン計画の一環として、原子爆弾の開発に関与しました。

彼は当初、この計画には反対していましたが、最終的には協力し、開発に重要な役割を果たしました。

しかし、原爆の使用についての意見は複雑でした。

彼は、原爆が世界を変えることになるとあり、同時に、エネルギーの恐ろしい破壊力を理解していたため、アインシュタイン同様、その使用に矛盾を感じていました。

また、戦後には核兵器が人類にとって大きな脅威になると警告し、核実験には反対していました。

このオッペンハイマーが計算したところによれば、陽子が「空孔」ならば、すべての物質は10億分の1秒程度で崩壊してしまうと言うことを計算で示しています。

量子論の黎明期に「空孔」と言うアイデアは、ディラックが提唱し、その後、否定されて、場の量子論が構築されています。

さらに

第二次世界大戦にまで拡大し、人口が半分になり、人類絶滅の手前まで古代から続いてきた戦争のレベルを超え

人類史上初の巨大な戦争による憎しみの連鎖を断ち切り終結するためには

数学のゲーム理論から連合国以外のどこかに原子爆弾を落とすことが必須ということが

計算で判明していたという事実は、一般的にあまり知られていません。

これは教科書に載らない歴史でもあります。

そして

エルミート行列は、量子力学において非常に重要な役割を果たします。

エルミート行列とは、その随伴行列（共役転置行列）が元の行列と等しい行列のことです。

量子力学におけるエルミート行列の重要性

1、観測可能量の表現

量子力学では、物理量（例えば位置や運動量）はエルミート演算子として表現されます。エルミート演算子の固有値は必ず実数であり、これは観測可能な物理量が実数であることを保証します。

2、固有値と固有ベクトル

エルミート行列の固有値は実数であり、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。この性質により、量子状態の正規直交基底を構築することができます。

3、ハミルトニアン

量子力学の中心的な役割を果たすハミルトニアン（エネルギー演算子）もエルミート演算子です。ハミルトニアンのエルミート性により、エネルギー固有値が実数であることが保証され、物理的に意味のあるエネルギースペクトルが得られます。

スーパーストリング理論との関連

スーパーストリング理論は、素粒子物理学の統一理論を目指す理論であり、基本的な構成要素を1次元の「ストリング」として扱います。この理論においても、エルミート行列やエルミート演算子は重要な役割を果たします。

1、D-ブレーンと行列モデル

スーパーストリング理論では、D-ブレーンと呼ばれる高次元の膜が登場します。これらのD-ブレーンのダイナミクスは、行列モデルを用いて記述されることが多く、エルミート行列がその基礎を成しています。

2、場の量子論との関係

スーパーストリング理論は、場の量子論と密接に関連しており、場の量子論におけるエルミート演算子の概念がそのまま適用されます。特に、ストリングの振動モードや相互作用を記述する際に、エルミート行列が重要な役割を果たします。

エルミート行列の性質は、量子力学の基本的な構造を支えるだけでなく、スーパーストリング理論の高度な数学的構造にも深く関与しています。

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