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renatoferreiradasilva · 20 days ago

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TopoThermal Inversion: A Mathematical Framework for Tumor Microenvironment Optimization in Thermal Therapies

\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, bm, graphicx, hyperref, geometry} \usepackage[capitalize]{cleveref} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{knots} \usepackage{booktabs}

\geometry{margin=1in} \title{TopoThermal Inversion: A Mathematical Framework for Tumor Microenvironment Optimization in Thermal Therapies} \author{Renato Ferreira da Silva} \date{2025}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\OO}{\Omega} \newcommand{\TT}{\mathcal{T}}

\begin{document} \maketitle

\section{Introduction} The efficacy of ablative thermal therapies such as Precise Plasma Therapy (PPT) for prostate cancer depends critically on the anisotropic heat diffusion modulated by the extracellular matrix (ECM) topology. This paper establishes a novel \emph{topothermal inversion framework} that bridges geometric measure theory with thermodynamic modeling. Our core contribution is the mathematical formalization of the relationship: [ \underbrace{\text{ECM Topology}}{\Psi(\FF)} \rightleftharpoons \underbrace{\text{Thermal Response}}{T(\bm{x},t)} ] where the bidirectional arrow represents our inversion operator $\mathcal{I}: \TT \to \Psi$ (reconstruction) and $\mathcal{I}^{-1}: \Psi \to \TT$ (control).

\section{Mathematical Formulation} \subsection{Geometric-Thermal Duality} \begin{definition}[Admissible Fiber Network] A fiber network $\FF = {\gamma_i}_{i=1}^N$ is \emph{admissible} ($\FF \in \mathcal{A}{\text{ad}}$) if: \begin{enumerate} \item $\gamma_i \in W^{2,p}(\OO)$ for $p > 3$ (Sobolev regularity) \item $\beta_1(\FF) \geq b{\min}$ (minimal connectivity) \item $|\kappa(\gamma_i)|_{L^\infty} \leq \kappa_{\max}$ (curvature bound) \item $\text{dim}_H(\FF) \in [2.3, 2.7]$ (Hausdorff dimension constraint) \end{enumerate} \end{definition}

The effective conductivity tensor $k_{\text{eff}}(\FF)$ incorporates topological invariants: [ k_{\text{eff}} = k_0\left(\bm{I} + \alpha \int_{\FF} \bm{\tau} \otimes \bm{\tau} \, d\mathscr{H}^1 - \beta \text{CEM}(\bm{x}) \bm{R}(\nabla \otimes \nabla \mathcal{K})\right) ] where $\bm{R}$ is the Reeb operator acting on curvature distribution $\mathcal{K}$.

\subsection{TopoThermal Inversion Problem} Given partial thermal data $T|{\partial\OO}$ and $T(\bm{x},0)$, find $\FF^*$ minimizing: [ J(\FF) = \underbrace{\int\OO |\mathcal{L}{\FF}^{-1}(Q) - T{\text{target}}|^2 d\bm{x}}{\text{Thermal control}} + \lambda_1 \underbrace{|\Psi(\FF) - \Psi_0|{\mathcal{H}^1}^2}{\text{Topological fidelity}} + \lambda_2 \underbrace{\mathscr{E}{\text{topo}}(\FF)}{\text{Entropic regularization}} ] where $\mathscr{E}{\text{topo}}(\FF) = -\int_\OO p(\bm{x}) \log p(\bm{x}) d\bm{x}$ for fiber density $p(\bm{x})$.

\begin{theorem}[Existence of Solutions]\label{thm:existence} Under hypotheses: \begin{enumerate} \item $k_{\text{eff}} \in L^\infty(\OO), k_{\text{eff}} \geq k_0 > 0$ (uniform ellipticity) \item $Q \in L^2([0,T]\times\OO)$ (source regularity) \item $\mathcal{A}{\text{ad}}$ is compact in $C^{1,\alpha}$ topology ($\alpha > 0.5$) \end{enumerate} the minimization problem admits a solution $\FF^* \in \mathcal{A}{\text{ad}}$. \end{theorem}

\begin{proof}[Proof Sketch] The proof proceeds via three steps: \begin{enumerate} \item Establish weak-$^$ closedness of $\mathcal{A}{\text{ad}}$ using Arzel`a-Ascoli theorem \item Show $J$ is lower semicontinuous under $C^{1,\alpha}$ convergence \item Apply Tonelli's direct method: [ \inf{\FF \in \mathcal{A}{\text{ad}}} J(\FF) = \lim{n\to\infty} J(\FF_n) \geq J(\FF^) ] for convergent subsequence $\FF_n \to \FF^*$ \end{enumerate} Full proof relies on compensated compactness for the curvature constraint. \end{proof}

\section{Topothermal Maximum Principle} \begin{conjecture}[Critical Entropy Bound]\label{conj:critical} There exists $\delta_{\text{crit}} > 0$ such that for $\text{IEF}(\FF) > \delta_{\text{crit}}$, the thermal field satisfies: [ \max_{\bm{x}\in\OO} T(\bm{x},t) \leq C(\OO) \cdot \emph{\text{TTI}}(\FF) \cdot |Q|_{L^\infty} ] with the Topological Thermodynamic Index (TTI): [ \text{TTI}}(\FF) = \int_{\OO} \frac{|\nabla T|^2}{1 + \beta \cdot \emph{\text{CEM}}(\bm{x})} d\bm{x} ] Moreover, $\delta_{\text{crit}}$ is characterized by: [ \delta_{\text{crit}} = \sup \left{ \delta : \frac{\partial^2 \text{TTI}}}{\partial \delta^2} \bigg|_{\delta_0} = 0 \right} ] \end{conjecture}

% Remaining sections continue here…

\end{document}

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thousandmaths · 8 years ago

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The Total Acquisition Number of a Randomly Weighted Path

This talk was given by Elizabeth Kelley at our student combinatorics seminar. She cited Godbole, Kurtz, Pralat, and Zhang as collaborators. One of these (Pralat, I think) was originally an editor, but then made substantial contributions to the project. This post is intended to be elementary.

[ Personal note: This is the last talk post I will be writing for OTAM. It seems fitting, since Elizabeth and I went to the same undergrad; I have actually known her for almost as long as I have been doing mathematics. ]

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Acquisitions Incorporated

This is a graph theory talk, but, refreshingly, it did not begin with “A graph is a pair of vertices and edges such that...”

It did begin with this: Let $G$ be a graph with a vertex-weighting (i.e. an assignment of nonnegative reals to each vertex). An acquisition move is a “complete transfer of weight” from a low-weight vertex to an adjacent higher-weight vertex. In other words, if the weights before the move are $w\leq x$, then the weights after the move are $0\leq w+x$ (respectively).

[ For the sake of not cluttering up the definitions with trivialities, we will say that both of the weights involved in an acquisition move must be strictly positive— that is: not zero. ]

From this, a bunch of definitions follow in quick succession.

A sequence of acquisition moves is called an acquisition protocol if it is maximal, i.e. after performing all of the moves, no further move is possible.

The set of nonzero-weight vertices after performing an acquisition protocol is called a residual set.

Finally, the acquisition number of $G$ is the minimum size of any residual set. We write it as $a(G)$.

This explains half of the title. The other half of the title, is perhaps a bit more self-explanatory. A lot is known about acquisition numbers when, say, all vertices are given weight $1$. Less is known in other contexts, but the goal of this paper is to ask what we “should” expect for paths. More precisely: if we give the vertices random weights, what is the expected acquisition number?

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Fekete’s Lemma

A sequence of real numbers $(x_n)$ is called subadditive if it does what the name suggests: for all $n$ and $m$

$$ x_{n+m} \leq x_n + x_m.$$

This is a pretty general construction, and tons of sequences do this: certainly any decreasing sequence will, and also most reasonable sequences that grow slower than linear ($\log(n)$ works, for instance). Usually, when the situation is so general, it is hard to say anything at all about them, but in this case things are different:

Lemma (Fekete). Given any subadditive sequence $(x_n)$, the limit of $x_n/n$ exists, and moreover

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{n} = \text{inf}_n \frac{x_n}{n}. $$

(This lemma has one of my favorite proofs, which is essentially the same as the one given in this NOTSB post; just reverse all the inequalities and repeat the argument with liminf/limsup replaced by lim/inf.)

This means that whenever you have a subadditive sequence, it makes sense to ask about its growth rate, which is just the limit that Fekete guarantees exists. Less formally, it is the number $c$ such that $x_n \approx cn$ as $n$ gets large. (Perhaps in this formulation is the existence statement so striking: why should there be such a number at all? But Fekete states that there is.)

As it happens, it is pretty easy to prove that $a(P_n)$, where the path $P_n$ on $n$ vertices has been weighted with all 1s, forms a subadditive sequence.

This proof doesn’t use much about the weightings at all: it requires only that they are “consistent” in some technical sense. The punchline for our purposes is that $a(P_n)$ continues to form a subadditive sequence when the paths are weighted by independent identically distributed random variables.

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Numbers, Please!

In the paper, Kelley considered the case when the vertex weights were distributed as a Poisson distribution. This is a thing whose details aren’t too important, but if you’re familiar with it you may be wondering why this instead of anything else? The answer is because when you know the answer for the Poisson model, you also know it in a more physically reasonable model: you start with a fixed amount of weight and you distribute it randomly to the vertices.

[ The process by which you use Poisson to understand the latter model is called “dePoissonization”, which makes me smile: to me it brings to mind images of someone hunched over their counter trying to scrub the fish smell out of it. ]

But enough justification: what’s the answer? Well, we don’t actually know the number on the nose, but here’s a good first step:

Theorem (Godbole–Kelley–Kurtz–Pralat–Zhang). Let the vertices of $P_n$ be weighted by Poisson random variables of mean $1$. Then $0.242n \leq \Bbb E[a(P_n)] \leq 0.375n$.

The proof of this theorem is mostly number-crunching, except for one crucial insight for each inequality: This step is easier to prove for the lower bound: after we have assigned numbers for the random variables, check which functions have been given the weight zero and look at the “islands” between them. Acquisition moves cannot make these islands interact, and so we can deal with them separately, so $\Bbb E[a(P_n)]$ splits up into a sum of smaller expectations based on the size of the islands. In a strong sense “most” of the islands will be small, and so you get a pretty good approximation just by calculating the first couple terms.

To get an upper bound, you need to think of strategies which will work no matter low long the path is and what variables are used. The most naïve strategy is to just pair off vertices of the path and send the smaller one in the pair to the larger one. This may or may not be an acquisition protocol, but you will always cut the residual set size (roughly) in half. Following even this naïve strategy is good enough to give the 0.375.

Both of these steps are fairly conceptually straightforward, but it becomes very difficult to calculate all the possibilities as you get further into the sum; in other words, it’s a perfect problem for looking to computer assistance. This allows us to get theoretical bounds $0.29523n \leq \Bbb E[a(P_n)] \leq 0.29576n$; and of course it would not be hard to get better results by computing more terms, but at some point it’s wiser to start looking for sharper theoretical tools rather than just trying to throw more computing power toward increasingly minuscule improvements.

#math #maths #mathematics #mathema #combinatorics #graph theory #probability #math friends #undergraduate research #last talk post

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asynca · 8 years ago

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#you can't have something EQUAL lim n-> inf#like that doesn't make sense#wtf#and then there's an integral with an upper bound but no lower bound?#like i know i'm supposed to assume its 0 but thats just bad habit#and then dx = integral of something with dx?#no no#that just won't do#WHY WOULD YOU WRITE q 1/q#that's just 1#please#i'm also very disappointed that i cannot find a single equation with i on this cover#gemma would be distraught

The tags on my advertising post are making me very happy XDDDDD GEMMA WOULD BE SO PROUD OF YOU XD

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maricarvalhoempresaria · 6 years ago

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50 receitas com gotas de chocolate que dão água na boca

Gotas de chocolate são uma ótima forma de finalizar uma sobremesa ou de dar aquele gostinho a mais. Elas combinam com cookies, dão um sabor delicioso à bolos e caem muito bem com pães. As gotas de chocolate são um curinga e podem ser usadas nas mais diferentes receitas.

Pensando nisso, selecionamos 50 receitas com gotas de chocolate que são irresistíveis e vão te deixar salivando. Confira a lista abaixo e prepare-se para se surpreender com todas essas delícias!

Cookies com gotas de chocolate

Cozinha legal

1. Cookie de baunilha com gotas de chocolate meio amargo: essa é uma receita americana clássica, fácil e mais simples do que se imagina. Aqui você vai precisar apenas de farinha de trigo, açúcar mascavo, açúcar cristal, ovo, margarina, fermento, essência de baunilha e gotas de chocolate meio amargo.

2. Cookie crocante com gotas de chocolate: nessa sugestão, você vai aprender a preparar um cookie crocante por fora e macio por dentro. E o toque final fica por conta das gotas de chocolate, que roubam a cena e conferem um gosto a mais ao cookie. Além disso, a dica para essa receita é usar gotas de chocolate ao leite.

3. Cookie macio com gotas de chocolate: se você é fã de chocolate, vai amar essa receita. Isso porque você irá usar bastante chocolate para preparar esse cookie, criando uma explosão de sabores. Além disso, essa sobremesa tem uma aparência linda e sofisticada, sendo perfeita para você vender e faturar um dinheiro extra.

4. Cookie de chocolate tradicional: não tem nenhum segredo aqui, é só seguir o passo a passo e em alguns minutos você poderá saborear esse delicioso cookie de chocolate na sua casa. Essa receita é uma ótima pedida para um evento especial, já que ela rende muitos biscoitos.

5. Cookie de chocolate amanteigado: essa sugestão vai especialmente para quem adora biscoitos amanteigados. A dica para essa opção é derreter o chocolate e misturá-lo à massa do biscoito, além de reservar algumas gotas para a decoração.

6. Cookie macio com gotas de chocolate amargo: os fãs de chocolate amargo irão adorar esse cookie, que além de macio, fica muito saboroso. É de arrancar suspiros de tão gostoso e de surpreender qualquer um de tão fácil. Experimente ainda hoje!

7. Cookie de baunilha, limão e gotas de chocolate: é impossível resistir a essa combinação de baunilha, limão e gotas de chocolate. Essa receita mistura o doce com o azedo, criando um sabor único. E o truque aqui é colocar noz-moscada, o que deixará o seu cookie ainda mais gostoso.

8. Cookie com gotas de chocolate amargo e branco: aprenda hoje mesmo a preparar essa receita que vai te conquistar na primeira mordida! Essa opção é simples, prática e deliciosa. Aqui, você vai precisar de açúcar cristal, ovo, farinha de trigo, bicarbonato de sódio, gotas de chocolate meio amargo e de chocolate branco.

9. Cookie de Nutella: os amantes de Nutella vão se apaixonar por essa receita. Afinal, se cookie já é bom, imagina cookie recheado com Nutella?! E o segredo para um doce perfeito é fazer bolinhas com o creme de avelã e levá-las ao freezer antes de adicioná-las à massa.

10. Cookie de chocolate com recheio de marshmallow: essa receita é ótima para aqueles dias em que você precisa preparar uma sobremesa rápida. Isso porque ela leva apenas 20 minutos para ficar pronta. E o resultado? Um cookie recheado com marshmallow que derrete na boca. Incrível, né?

11. Cookie de chocolate com nozes: já vamos logo avisando que esse cookie de chocolate com nozes vai te conquistar! E o segredo aqui é congelar a massa por pelo menos 15 minutos antes de levá-la ao forno. Isso faz com que o cookie não rache e permaneça perfeito para ser servido.

12. Cookie de brownie: prepare-se para colocar essa sugestão no seu caderno de receitas favoritas! Esse cookie de brownie tem um passo a passo um pouco mais complexo, mas ainda assim vale a pena ser feito. Que tal testá-lo hoje mesmo?

13. Cookie com gotas de chocolate, pistache e flor de sal: se você é daqueles que adoram inovar na sobremesa e experimentar sabores inusitados, essa receita, que combina chocolate, pistache e flor de sal, vai te surpreender. A dica aqui é presentear uma pessoa querida com esse cookie, que promete fazer um verdadeiro sucesso.

14. Cookie de chocolate branco com macadâmia: sem segredos e sem grandes dificuldades, você vai aprender a fazer um cookie de chocolate branco com macadâmia. Esses ingredientes, quando combinados, causam uma explosão de sabores. Vale a pena testar!

Bolos com gotas de chocolate

A casa encantada

15. Bolo formigueiro: essa receita é clássica, mais fácil do que parece ser e ainda fica com a massa fofinha. Anote os ingredientes para preparar na sua casa esse bolo com gostinho de infância: farinha de trigo, açúcar refinado, ovo, iogurte natural, fermento, noz-moscada e gotas de chocolate ao leite.

16. Bolo de baunilha com gotas de chocolate: sabe aqueles dias em que você quer saborear um doce, mas não quer passar muito tempo na cozinha? Essa receita de bolo de baunilha com gotas de chocolate é uma ótima opção para esses dias! Isso porque ela é feita com ingredientes simples e fica pronta em cerca de 30 minutos.

17. Bolo de banana com gotas de chocolate: sem processos difíceis e complicações, esse bolo é bem simples de ser feito. Você vai usar apenas banana, ovo, açúcar, manteiga, farinha de trigo, chocolate amargo e fermento. A dica aqui é bater todos os ingredientes no liquidificador, seguindo o passo a passo indicado.

18. Bolo de banana com gotas e cobertura de chocolate: aqui, o seu bolo também ficará pronto com a ajuda de um liquidificador, o que deixa o preparo ainda mais prático. Além disso, a sugestão da receita é usar aveia no lugar da farinha de trigo para uma opção mais leve e saudável.

19. Bolo integral de banana, castanhas e gotas de chocolate: se você está procurando por uma receita com farinha de trigo integral, acabou de encontrar. Além disso, o que também diferencia essa opção das outras duas anteriores são as castanhas, que dão um toque especial ao bolo. E que tal experimentar essa sugestão no seu próximo lanche da tarde?

20. Bolo fofo de cenoura com gotas de chocolate: essa sugestão vai especialmente para quem tem o bolo de cenoura com chocolate como o seu favorito. O plus dessa receita é que você colocará as gotas de chocolate não apenas na cobertura, mas também na massa, criando um doce cremoso na medida certa e irresistível.

21. Bolo de chocolate com caramelo e banana: a facilidade dessa receita vai te surpreender! Isso porque para prepará-la você precisará apenas de mistura para bolo, leite, óleo, ovo, banana, caramelo e gotinhas de chocolate. Para servir, uma cobertura à base de cream cheese, açúcar, manteiga e aroma de baunilha.

22. Bolo Anjo com gotas de chocolate: esse bolo é fácil de preparar e em alguns minutos você já pode saciar a sua vontade de comer doce. A massa fica leve e fofa por conta do creme de leite, e é a escolha certa para acompanhar um cafezinho.

23. Bolo três chocolates: prático e com um sabor intenso, esse bolo é perfeito para quem é apaixonado por chocolate. Além disso, você vai aprender a preparar uma deliciosa cobertura à base de gotas de chocolate meio amargo e manteiga sem sal para servir com o seu bolo e encantar a todos.

24. Bolo Double chocolate: esse bolo é ideal para levar em grandes comemorações ou em reuniões com os amigos. Você vai arrasar na sobremesa e receber muitos elogios servindo esse bolo Double chocolate. Afinal, quem é que não gosta de chocolate?

25. Bolo de chocolate e açúcar mascavo: mesmo se você não tiver muita experiência na cozinha, pode arriscar fazer essa receita. Isso porque ela tem um baixo grau de dificuldade. Além disso, você vai usar açúcar mascavo no lugar do refinado, o que fará do seu bolo uma opção mais saudável.

26. Bolo cookie com sorvete: para seguir essa receita, você deve intercalar camadas de cookies e de sorvete. O resultado é um doce sensacional e com uma apresentação sofisticada. Essa sobremesa, que é uma ótima opção para servir em festas e aniversários, promete chamar a atenção de todos e ser a alegria das crianças.

Brownies e bolinhos com gotas de chocolate

Figos e funghis

27. Bolinho de banana, baunilha e chocolate em gotas: você vai aprender a fazer um bolinho saboroso, leve e fofinho sem mistério. A dica aqui é usar bananas bem maduras para deixar o seu bolo ainda mais doce. O processo é simples e em poucos minutos você já consegue experimentar essa delícia.

28. Bolinho de baunilha com gotas de chocolate: o preparo rápido dessa receita de liquidificador a torna ideal para quando você receber visitas inesperadas em sua casa. O passo a passo é simples e os ingredientes também. Anota aí: ovo, leite, essência de baunilha, amido de milho, açúcar, farinha de trigo, fermento em pó e gotas de chocolate.

29. Bolinho de cenoura com gotas de chocolate: com poucos ingredientes você consegue fazer esse bolinho de cenoura com gotas de chocolate com sabor de infância. E essa sugestão é perfeita para saciar rapidamente a vontade de comer doce, pois fica pronta em menos de uma hora.

30. Muffin de baunilha, canela e gotas de chocolate: o grande toque desse muffin é a canela, que quando combinada com a baunilha e com as gotas de chocolate, forma um sabor único e intenso. E essa é uma receita que vai te conquistar tanto pelo sabor quanto pela praticidade.

31. Muffin de laranja com gotas de chocolate: se você aprecia combinações diferentes e inusitadas, você precisa testar essa receita o quanto antes! Esse bolo mescla o cítrico da laranja com o doce do chocolate, criando um muffin de deixar qualquer um babando. Além de inovar na cozinha, você ainda irá receber muitos elogios!

32. Muffin de chocolate com gotas de chocolate: o duplo chocolate promete ser uma explosão de sabores! E o segredo para um bolo molhadinho é usar leite integral, que irá garantir a umidade do seu muffing. Além disso, a dica aqui é saborear o seu bolinho durante um piquenique ou lanche.

33. Muffin de cenoura, baunilha e gotas de chocolate: se você é fã de bolo de cenoura, vai amar essa combinação de cenoura, baunilha e gotas de chocolate. Para experimentar essa receita você irá precisar de cenouras, óleo, ovos, açúcar, essência de baunilha, farinha de trigo, fermento em pó, sal e gotas de chocolate ao leite.

34. Brownie Smores: smores é uma sobremesa tipicamente americana à base de chocolate, biscoito e marshmallow. Agora imagina a combinação desse doce com o brownie! O resultado é surpreendente e promete fazer sucesso tanto com crianças quanto com adultos!

Pães com gotas de chocolate

Dani Noce

35. Pão de abóbora com gotas de chocolate: o toque especial dessa receita fica por conta das gotas de chocolate, que dão um sabor extra ao tradicional pão de abóbora. O bom dessa opção é que ela é perfeita para vários momentos do dia. Você pode saboreá-la no café da manhã, no lanche da tarde ou até mesmo na sobremesa.

36. Pão de banana com gotas de chocolate: você vai aprender a preparar o clássico banana bread ou, simplesmente, pão de banana. Para experimentar essa delícia você irá contar com os seguintes ingredientes: manteiga, açúcar granulado, baunilha, banana, ovo, sal, bicarbonato de sódio, fermento em pó, farinha de trigo e gotas de chocolate.

37. Pão de minuto de chocolate: essa receita é perfeita para aqueles dias de correria em que não se tem muito tempo para ficar na cozinha. Nela não é necessário esperar para que a massa fermente, já que para preparar esse pão você vai usar o fermento biológico. Isso faz com que o seu pão de chocolate fique pronto mais rapidamente.

38. Colomba Pascal com gotas de chocolate e paçoca: o resultado dessa combinação de chocolate e paçoca promete deixar todos salivando. Além disso, essa é uma receita simples, rápida e que fica pronta em apenas 90 minutos. Experimente no café da tarde e se surpreenda com o resultado!

39. Catarina de chocolate: a Catarina é um pão trançado de chocolate muito vendido em padarias e confeitarias. É uma receita tradicional, deliciosa e um pouco mais complexa do que as anteriores, mas que vale muito a pena ser experimentada por você!

40. Panetone de chocolate com recheio trufado: já pensou em faturar uma renda extra vendendo panetones de chocolate? Essa receita com recheio trufado fica superatraente e tem uma apresentação linda. É perfeita para ser comercializada ou para presentear uma pessoa querida.

41. Panetone de chocolate meio amargo e pistache: quem rouba a cena aqui é o pistache, que deixa o panetone de chocolate meio amargo com um sabor a mais. Essa receita é deliciosa, leve e muito saborosa. Vale a pena testá-la não apenas em época natalina, mas durante o ano todo. Esse panetone é sempre uma boa pedida!

42. Chocotone com gotas de chocolate e laranja cristalizadas: a combinação do chocolate com as cascas de laranja é uma sugestão deliciosa. Essa é uma receita mais elaborada, mas é só seguir o passa a passo direitinho e você poderá saborear esse chocotone com gotas de chocolate e laranja cristalizadas!

Receitas restritivas com gotas de chocolate

Torrada torrada

43. Chocotone low carb: se você quer experimentar um doce gostoso mas não quer exagerar no carboidrato, essa receita é para você! Com apenas farinha de grão-de-bico, farinha de amêndoas, xilitol, chocolate sem lactose, fermento, essência de baunilha e ovo, você consegue preparar um chocotone low carb em casa.

44. Cookie integral de duplo chocolate: essa opção de cookie integral não perde em nada para o feito com farinha comum e promete deixar todos com água na boca. Ele fica com uma ótima textura: macio por dentro e crocante por fora, como um bom cookie deve ser. Experimente já!

45. Cookie vegano com gotas de chocolate: se você é vegano, intolerante à lactose ou simplesmente quer provar um doce sem leite, essa sugestão vai especialmente para você. A dica para essa receita é ler o rótulo das gotas de chocolate para se certificar de que foram produzidas sem nada de origem animal.

46. Cookie com pasta de amendoim e gotas de chocolate: o que essa combinação de pasta de amendoim e chocolate tem de diferente, ela tem de saborosa. A pasta de amendoim sacia a fome e é rica em nutrientes, o que faz dessa receita uma escolha mais saudável.

47. Cookie de aveia e gotas de chocolate: nutritiva e saborosa, essa receita de cookie de aveia com gotas de chocolate é de deixar qualquer um com vontade de experimentá-la. Todos irão se apaixonar por esse cookie, que, além de delicioso, é simples de ser feito.

48. Cookie de aveia e chocolate sem glúten: essa receita é especialmente para pessoas com intolerância ao glúten ou que decidiram tirá-lo de sua alimentação. Aqui, você vai usar manteiga sem sal, açúcar mascavo, açúcar refinado, bicarbonato de sódio, ovo, baunilha, gotas de chocolate meio amargo e farinha de aveia.

49. Cookie de amêndoas com gotas de chocolate: se chocolate já é uma delícia, imagina com amêndoas! Com um passo a passo simples você aprende a preparar esse cookie saboroso, leve e saudável. Você não vai se arrepender!

50. Cookie de amêndoas, mel e gotas de chocolate: uma opção simples, prática e deliciosa. Além de ser sem glúten e vegana, você irá precisar de apenas cinco ingredientes para prepará-la: amêndoas, mel, óleo de coco, polvilho doce e gotas de chocolate.

Qual dessas receitas você mais gostou? São tantas opções deliciosas que fica até mesmo difícil de escolher apenas uma, né? Todas valem a pena serem experimentadas e saboreadas! E se você adora inovar na sobremesa, não pode perder essa lista de receitas de pavê tradicional para arrasar na cozinha!

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enzorochafotografia · 6 years ago

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50 receitas com gotas de chocolate que dão água na boca

Pensando nisso, selecionamos 50 receitas com gotas de chocolate que são irresistíveis e vão te deixar salivando. Confira a lista abaixo e prepare-se para se surpreender com todas essas delícias!

Cookies com gotas de chocolate

Cozinha legal

Bolos com gotas de chocolate

A casa encantada

Brownies e bolinhos com gotas de chocolate

Figos e funghis

Pães com gotas de chocolate

Dani Noce

Receitas restritivas com gotas de chocolate

Torrada torrada

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