#a2 - 2ab + b2 | Explore Tumblr Posts and Blogs

22ums115 · 4 months

Text

Algebra - Introduction and Basic Formula

INTRODUCTION AND BASIC FORMULAS IN ALGEBRA

Algebra is the part of mathematics that helps to represent the problems or situations in the form of mathematical expressions. Algebraic formula are used to simplify the algebraic statement. Algebraic formulas are useful for resolving algebraic, quadratic, polynomials, trigonometry, probability, and more.

Introduction of Algebra

Algebra is the branch of mathematics in which arithmetical operations and formal manipulations are applied to abstract symbols rather than specific numbers. The notion that there exists such a distinct subdiscipline of mathematics, as well as the term algebra to denote it, resulted from a slow historical development. This article presents that history, tracing the evolution over time of the concept of the equation, number systems, symbols for conveying and manipulating mathematical statements, and the modern abstract structural view of algebra. For information on specific branches of algebra, see elementary algebra, linear algebra and modern algebra.

Algebraic Formula

Algebraic formulas are the combination of numbers and letters to form an equation or formula. The algebraic formula is a short quick formula to solve complex algebraic calculations.

Algebraic properties

The properties of algebra enable us to solve mathematical equations. Notice that these properties hold for addition and multiplication. These properties include the associative property, commutative property, distributive property, identity property, inverse property, reflexive property, symmetric property, and transitive property.

Algebraic Formula

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ca

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 or a3 – b3 – 3ab(a – b)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)

a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

If n is a natural number an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b+…+ bn-2a + bn-1)

If n is even (n = 2k), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +…+ bn-2a – bn-1)

If n is odd (n = 2k + 1), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +an-3b2…- bn-2a + bn-1)

(a + b + c + …)2 = a2 + b2 + c2 + … + 2(ab + ac + bc + ….)

Laws of Exponents (am)(an) = am+n ; (ab)m = ambm ; (am)n = amn

Properties of Algebra :

Commutative property:

Addition : a + b = b + a

Changing the order of addons does not change the sum.

Multiplication : a x b = b x a

Changing the order of the factor does not change the product.

Associative Property:

Addition : (a + b)+ c = a + (b + c)

Changing the grouping of the addends does not change the sum.

Multiplication : (a x b) xc = a x (b x c)

Changing the grouping of the factors does not change the product.

Distributive properties:

Addition : a × (b + c) = a × b + a × c

Multiplication : (a + b) × c = a × c + b × c

The distributive property states that multiplying each element by a single term and then adding and subtracting the products is the same as multiplying each component by a single term and then adding and subtracting the products.

Rule of multiplication over subtraction: p (q-r) = p*q – p*r

If p, q, and r, are all integers.

Left distributive law if p* (q-r) = (p * q) – (p*r)- and

Right distributive law if (p-q)*r = (p*r) – (q*r)-

What are the properties of Algebra?

Associative Property

Commutative Property

Distributive Property

Identity Property

Inverse Property

Reflexive Property

Symmetric Property

Transitive Property

1 note · View note

divyaspuramworld · 1 year

Text

WBBSE Solutions For Class 8 Maths Algebra Chapter 1 Simplify Revision Of Old Lessons

#Class8mathsalgebra #Wbbsesolutions #Class8mathsalgebrachapter1

0 notes

sourav5255 · 2 years

Text

Fox jumps over the lazy dog.

A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps A quick brohjj w hjjhn fox jumps over the lazy dog.

A quick brown fox jumps over the lazy dog.

500 tk 300tk

A quick brown

A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps over the lazy dog.

H2O H2O

O2 O2

A2+B2= (A+B)2-2AB+B2

A2+B2=(A+B)2-2AB+B2

A4+

Fox jumps over the lazy dog.

A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps A quick brohjj w hjjhn fox jumps over the lazy dog.

A quick brown fox jumps over the lazy dog.

500 tk 300tk

A quick brown

A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps over the lazy dog. A quick brown fox jumps over the lazy dog.

H2O H2O

O2 O2

A2+B2= (A+B)2-2AB+B2

A2+B2=(A+B)2-2AB+B2

A4+

0 notes

zetaamath · 2 years

Text

NUMBER SYSTEM

Number system topic is the important concept to solve Aptitude test, you will get questions from this area in many competitive exams which includes Formulae, HCF & LCM, Factorization, Unit Digits, Progression. Some Basic Formulae: (a + b)(a – b) = (a2 – b2) (a + b)2 = (a2 + b2 + 2ab) (a – b)2 = (a2 + b2 – 2ab) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a3 + b3) =…

View On WordPress

0 notes

bambooschool · 2 years

Text

Bộ đề thi giữa kì 1 toán 8 từ cơ bản đến nâng cao có đáp án mới nhất 2022-2023

Tiếp cận và làm quen với các dạng đề thi giữa kì 1 toán 8 sẽ giúp các bạn học sinh nắm được những nội dung kiến thức trọng tâm cần ôn tập, cũng như hiểu được phương pháp giải của một số bài toán. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tham khảo bộ đề thi giữa kì 1 toán 8 từ cơ bản đến nâng cao có đáp án mới nhất năm học 2022-2023. Hãy cùng Bamboo School tìm hiểu nhé!

Đề 1

Bài 1: Thực hiện các phép tính:

a) -7x2(3x - 4y) b) (x - 3)(5x - 4)

c) (2x - 1)2 d) (x + 3)(x - 3)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2x3 - 3x2 b) x2 + 5xy + x + 5y c) x2 - 36 + 4xy + 4y2

Bài 3: Tìm x, biết: x2 - 5x + 6 = 0

Bài 4: Có 10 túi đựng tiền vàng hình dạng giống hệt nhau. Trong đó, có một túi đựng tiền giả. Những đồng tiền giả nhẹ hơn một gam so với đồng tiền thật nặng 10 gam. Bằng một chiếc cân đồng hồ và với chỉ một lần cân, hãy tìm ra túi đựng tiền giả?

Bài 5: Cho ΔABC vuông tại C (AC < BC), gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IE ⊥ BC tại E, kẻ IF ⊥ BC tại F.

a. Chứng minh tứ giác CEIF là hình chữ nhật.

b. Gọi H là điểm đối xứng của I qua F. Chứng minh rằng tứ giác CHFE là hình bình hành.

c. CI cắt BF tại G, O là trung điểm của FI. Chứng minh ba điểm A, O, G thẳng hàng.

Bài 6: Tìm các số a,b,c ∈ Q biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac và a + b + c = 2019

Đáp án chi tiết:

Bài 1:

a) -7x2(3x - 4y) = -7x2.3x + 7x2.4y = -21x3 + 28x2y

b) (x - 3)(5x - 4) = x.5x - x.4 - 3.5x + 3.4 = 5x2 - 4x - 15x + 12 = 5x2 - 19x + 12

c) (2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1

d) (x + 3)(x - 3) = x2 - 32 = x2 - 9

Bài 2:

a) 2x3 - 3x2 = x2(2x - 3)

b) x2 + 5xy + x + 5y = x(x + 5y) + (x + 5y) = (x + 1)(x + 5y)

c) x2 - 36 + 4xy + 4y2 = (x2 + 4xy + 4y2) - 36 = (x + 2y)2 - 62 = (x + 2y - 6)(x + 2y + 6)

Bài 3: Ta có: x2 - 5x + 6 = 0

<=> x2 - 2x - 3x + 6 = 0

<=> (x2 - 2x) - (3x - 6) = 0

<=> (x - 3)(x - 2 = 0)

Trường hợp 1: x - 3 = 0 ⇒ x = 3

Trường hợp 2: x - 2 = 0 ⇒ x = 2

Vậy x ∈ {2; 3}

Bài 4:

Ta đánh số 10 ví theo thứ tự 1; 2; 3;...; 10

Ta lấy 1 đồng từ ví 1

Lấy 2 đồng từ ví 2

...

Tiếp tục như vậy cho đến ví 10, ta lấy 10 đồng

Như vậy, ta lấy được tất cả là 55 đồng.

Khi đó, 55 đồng này sẽ có cân nặng a gam (với a > 0)

Giả sử 55 đồng này đều là tiền thật thì chúng có cân nặng là: 10.55 = 550 (gam)

Vì tiền giả nhẹ hơn một gam so với tiền thật nên a < 550

Sau khi cân, ta thực hiện phép tính 550 - a.

Nếu 550 - a = 9 thì ví 1 là ví đựng tiền giả.

Nếu 550 - a = 9.2 thì ví 2 là ví đựng tiền giả.

Tương tự, ta tiếp tục thực hiện phép tính này với các ví tiền còn lại.

Bài 5:

Hình vẽ minh họa

a. Vì ΔABC vuông tại C nên ∠C = 90o

Ta lại có: IE ⊥ BC tại E và IF ⊥ AC tại F.

⇒ ∠E = 90o, ∠F = 90o

Xét tứ giác IFCE ta có: ∠C = ∠E = ∠F = 90o

⇒ Tứ giác IFCE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b. Vì tứ giác IFCE là hình chữ nhật nên IF = CE và IF // CE.

Vì H là điểm đối xứng của I qua F nên IF = HF và H, F, I thẳng hàng.

⇒ CE = HF và CE // HF

⇒ Tứ giác CHFE là hình bình hàng (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c. *) Chứng minh A, G, E thẳng hàng

Giả sử: BF ∩ CI = {G}

Xét tam giác ABC ta có: IA = IB, IF // BC

⇒ F là trung điểm AC.

Tương tự, E là trung điểm của BC

⇒ BF là đường trung tuyến của ΔABC; AE là là đường trung tuyến của ΔABC

Mà CI là là đường trung tuyến của ΔABC và BF ∩ CI = {G}

⇒ G là trọng tâm của ΔABC

⇒ A, G, E thẳng hàng (1)

*) Chứng minh A, O, E thẳng hàng

Ta có: AF = FC, IE = FC, AF // IE

⇒ AF = IE ⇒ Tứ giác AFEI là hình bình hành

Mà O là trung điểm của IF nên O là trung điểm của AE.

⇒ A, O, E thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, O, G thẳng hàng.

Bài 6:

Theo giả thiết, ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac

<=> 2(a2 + b2 + c2) = 2(ab + bc + ac)

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ac

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0

<=> a2 -2ab + b2 + a2 - 2ac + c2 + b2 - 2bc + c2 = 0

<=> (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0

⇒ a - b = 0, a - c = 0, b - c = 0 ⇒ a = b = c

Ta lại có: a + b + c = 2019 ⇒ a = b = c = 2019/3

Vậy: a = b = c = 2019/3

Đề 2

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

Hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng trong mỗi câu sau vào bài làm.

Câu 1: Kết quả phép tính x(x - y) + y(x + y) tại x = -3 và y = 4 là:

A. 1 B. 7 C. -25

Câu 2: Khai triển biểu thức (x - 2y)3 ta được kết quả là:

A. x3 - 8y3 B. x3 - 2y3

C. x3 - 6x2y + 6xy2 - 2y3 D. x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3

Câu 3: Giá trị biểu thức 20092 - 2018.2009 + 10092 có bao nhiêu chữ số 0?

A. 6 B. 2 C. 4

Câu 4: Đa thức 4x2 - 12x + 9 phân tích thành nhân tử là:

A. (2x - 3)2 B. 2x + 3 C. 4x - 9

Câu 5: Hình nào sau đây là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau?

A. Hình thang B. Hình thang cân

C. Hình thang vuông D. Hình bình hành

Câu 6: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 8cm và D, E, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, BD và CE (như hình vẽ). Khi đó, độ dài của MN là:

Hình vẽ

A. 7cm B. 5cm C. 6cm D. 4cm

Câu 7: Hình chữ nhật có độ dài cạnh 5cm và 12cm thì khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến mỗi đỉnh là

A. 17cm B. 8,5cm C. 6,5cm D. 13cm

PHẦN II: TỰ LUẬN (8 điểm)

Câu 1 (2,25 điểm)

Rút gọn các biểu thức sau đây:

a. 2x(3x + 2) - 3x(2x + 3)

b. (x + 2)3 + (x - 3)2 - x2(x + 5)

c. (3x3 - 4x2 + 6x) : 3x

Câu 2 (0,75 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 - 12x2 + 18x

Câu 3 (1,0 điểm)

Tìm x, biết: 3x(x - 5) - x2 + 25 = 0

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Gọi E và K lần lượt là trung điểm của CD và AB. BD cắt AE, AC, CK lần lượt tại N, O và I. Chứng minh rằng:

a. Tứ giắc AECK là hình bình hành.

b. Ba điểm E, O, K thẳng hàng.

c. DN = NI = IB

d. AE = 3KI

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32

Đáp án chi tiết:

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Thay x = -3 và y = -4 vào biểu thức x(x - y) + y(x + y) ta được:

(-3)(-3 - 4) + 4(-3 + 4) = 21 + 4 = 25

Chọn D.

Câu 2: Ta có: (x - 2y3 = x3 - 3x2.2y + 3x.(2y)2 + (2y)3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3

Chọn D.

Câu 3: 20092 - 2018.2009 + 10092 = 20092 - 2.2009.1009 + 10092 = (2009 - 1009)2 = 10002 = 1000000

Vậy giá trị của biểu thức 20092 - 2018.2009 + 10092 có 6 chữ số 0.

Chọn A.

Câu 4: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2

Chọn A.

Câu 5:

Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ, và áp dụng tính chất của các hình ta có: Hình thang cân là hình có hai đường chéo bằng nhau.

Chọn B.

Câu 6:

ΔABC có: AD = BD VÀ AE = CE ⇒ DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC, DE = BC/2 ⇒ DE = 4 (cm)

Vì DE // BC nên tứ giác DECB là hình thang

MÀ DM = MB và EN = NC ⇒ MN là đường trung bình của hình thang DECB

⇒ MN = (DE + BC)/2 = 6 (cm)

Chọn D.

Câu 7: Độ dài đường chéo của hình chữ nhật ABCD là: √(52 + 122) = 13 (cm)

Vậy khoảng cách từ giao điểm của 2 đường chéo đến mỗi đỉnh là: 13/2 = 6,5 (cm)

Chọn C.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Bài 1.

a. 2x(3x + 2) - 3x(2x + 3) = 2x.3x + 2x.2 - 3x.2x - 3x.3 = 6x2 + 4x - 6x2 - 9x = -5x

b. (x + 2)3 + (x - 3)3 - x2(x + 5) = (x3 + 6x2 + 12x + 8) + (x2 - 6x + 9) - (x3 + 5x2) = x3 + 6x2 + 12x + 8 + x2 - 6x + 9 - x3 - 5x2 = (x3 - x3) + (6x2 + x2 - 5x2) + (12x - 6x) + 9 = 2x2 + 6x + 9

c. (3x3 - 4x2 + 6x) : 3x = 3x3 : 3x - 4x2 : 3x + 6x : 3x = x2 - x.4/3 + 2

Bài 2. 2x3 - 12x2 + 18x = 2x(x2 - 6x + 9) = 2x(x - 3)2

Bài 3. 3x(x - 5) - x2 + 25 = 0

<=> 3x(x - 5) - (x2 - 25) = 0

<=> 3x(x - 5) - (x + 5)(x - 5) = 0

<=> (3x - x - 5)(x - 5) = 0

<=> (2x - 5)(x - 5) = 0

Trường hợp 1: 2x - 5 = 0 ⇒ x = 5/2

Trường hợp 2: x - 5 = 0 ⇒ x = 5

Vậy x ∈ {5/2; 5}

Bài 4.

Hình minh họa

a. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình bình hành)

Mà E, K lần lượt là trung điểm của CD và AB nên AK = EC và AK // EC.

⇒ Tứ giác AECK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b. Trong hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất của hình bình hành)

Mà AECK là hình bình hành nên O là trung điểm của EK.

⇒ Ba điểm E, O, K thẳng hàng.

c. Vì AECK là hình bình hành nên AE // CK (tính chất hình bình hành)

ΔDIC có: ED = EC và EN // CI ⇒ DN = NI

Tương tự, ΔABN có: KA = KB và IB // IN ⇒ BI = NI

⇒ DN = BI = NI

d. Ta có: KI là đường trung bình của ΔABN ⇒ KI = AN/2

EN là đường trung bình của ΔDCI ⇒ EN = IC/2

AE = AN + NE = 2KI + IC/2 = 3KI/2 + KI/2 + IC/2 = 3KI/2 + KC/2

⇒ AE = 3KI/2 + AE/2 ⇒ AE/2 = 3KI/2 ⇒ AE = 3KI

Vậy: AE = 3KI

Bài 5. P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32

⇒ P = x2 + (4xy + 6x) + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = x2 + 2x(2y + 3) + (2y + 3)2 - (2y + 3)2 + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = [x + (2y + 3)]2 - 4y2 - 12y - 9 + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + y2 + 4y + 23

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19

Vì (x + 2y + 3)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R và (y + 2)2 ≥ 0 với mọi y ∈ R

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0

⇒ x = 1 và y = -2

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = -2.

Đề 3

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. 2x2 - 3x - 2 b. 4x(x - 2) + 3(2 - x)

c. 27x3 + 8 d. x2 + 2x - y2 + 1

Câu 2: Tìm giá trị của x, biết:

a. 9x2 + 6x - 3 = 0 b. x(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x2 - 2x + 4) = 4

Câu 3: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a. A = x(x + y) - 5(x + y) với x = 1, y = 2

b. B = 3x(x2 - 3) + x2(4 - 3x) - 4x2 + 1 tại x = 1/9

Câu 4: Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 90o) và CD = 2AB. Kẻ DH vuông góc với AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của DH. Chứng minh rằng:

a. MN ⊥ AD

b. ABMN là hình bình hành.

c. ∠BMD = 90o

Câu 5:

1) Cho biểu thức: A = (2x - 3)2 - (x + 1)(x + 5) + 2. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của A.

2) Cho B = n2 - 27n2 + 121. Tìm số tự nhiên n để B là số nguyên.

Đáp án chi tiết:

Câu 1:

a. 2x2 - 3x - 2 = 2x2 - 4x + x - 2 = (2x2 - 4x) + (x - 2) = 2x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(2x + 1)

b. 4x(x - 2) + 3(2 - x) = 4x(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(4x - 1)

c. 27x3 + 8 = (3x)3 + 23 = (3x + 2)[(3x)2 - 2.3x + 22] = (3x + 2)(9x2 - 6x + 2)

d. x2 + 2x - y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + 1 - y)(x + 1 + y)

Câu 2:

a. 9x2 + 6x - 3 = 0

<=> 3(3x2 + 2x - 1) = 0

<=> 3x2 - x + 3x - 1 = 0

<=> x(3x - 1) + (3x - 1) = 0

<=> (x + 1)(3x - 1) = 0

Trường hợp 1: x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Trường hợp 2: 3x - 1 = 0 ⇒ x = 1/3

b. x(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x2 - 2x + 4) = 4

⇔ x(x2 - 4) - (x3 + 8) = 4

⇔ x3 - 4x - x3 - 8 - 4 = 0

⇔ -4x = 12

⇔ x = -3

Câu 3:

a. A = x(x + y) - 5(x + y) = (x + y)(x - 5)

Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức trên, ta có: A = (1 + 2)(1 - 5) = 3.(-4) = -12

Vậy với x = 1, y = 2 thì A = -12

b. B = 3x(x2 - 3) + x2(4 - 3x) - 4x2 + 1 = 3x3 - 9x + 4x2 - 3x3 - 4x2 + 1 = -9x + 1

Thay x = 1/9 vào biểu thức trên, ta có: B = -9.1/9 + 1 = 0

Vậy với x = 1/9 thì B = 0

Câu 4:

Hình vẽ

a. Vì ABCD là hình thang vuông nên ∠A = ∠D = 90o

⇒ AD ⊥ DC tại D (1)

Xét tam giác HDC ta có: NH = ND (giả thiết), MH = MC (giả thiết)

⇒ NM là đường trung bình của tam giác HDC

⇒ NM // DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ AD tại G (từ vuông góc đến song song)

b. Theo giả thiết, ta có: CD = 2AB ⇒ AB = CD/2

Mà MN là đường trung bình của ΔHDC nên MN = DC/2 ⇒ AB = MN

Vì AB // CD, MN // CD ⇒ AB // MN

Tứ giác ABMN có: AB = MN, AB // MN

⇒ ABMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) ⇒ AN // BM

c. Kẻ AN cắt DM tại K

Ta có: MG ⊥ AD, DH ⊥ AM, MG ∩ DH = {N}

⇒ N là trực tâm của ΔADM ⇒ AK ⊥ DM tại K

Mà BM // AK ⇒ BM ⊥ DM ⇒ ∠BDM = 900

Câu 5:

1) A = (2x - 3)2 - (x + 1)(x + 5) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - x2 - 6x - 5 + 2 = 3x2 - 18x + 6 = 3(x2 - 6x + 2) = 3[(x - 3)2 - 7] ≥ 3.(-7) = -21

Dấu "=" xảy ra khi x - 3 = 0 ⇔ x = 3. Vậy MinA = -21 ⇔ x = 3

2) B = n4 - 27n2 + 121 = n4 + 22n2 + 121 - 49n2 = (n2 + 11)2 - (7n)2 = (n2 + 7n + 11)(n2 - 7n + 11)

Vì n ∈ N nên n2 - 7n + 11 là số tự nhiên lớn hơn 1

Điều kiện cần để B là số nguyên tố là: n2 - 7n + 11 = 1 ⇔ n2 - 7n + 10 = 0 ⇔ (n - 2)(n - 5) = 0 ⇔ n = 2 hoặc n = 5

Với n = 2 thì B = 29 (là số nguyên tố)

Với n = 5 thì B = 71 (là số nguyên tố)

Vậy n ∈ {2; 5} là các giá trị cần tìm.

Đề 4

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y b. x3 + 10x2 + 25x - xy2

c. x2 + x - 6 d. 2x2 + 4x - 16

Câu 2. Tìm giá trị của x, biết:

a. x3 - 16x = 0 b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0

Câu 3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5

Câu 4. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45

Câu 5. Cho hình thang ABDC (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm M và N sao cho AM = MN = NC. Từ M và N kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng:

a. BE = EF = FD

b. Cho CD = 8cm, ME = 6cm. Tính độ dài AB và FN

Đáp án chi tiết:

Câu 1:

a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y = 8x(x - y) - 4(x - y) = (x - y)(8x - 4) = 4(x - y)(2x - 1)

b. x3 + 10x2 + 25x - xy2 = x(x2 + 10x + 25 - y2) = x[(x - 5)2 - y2] = x(x - 5 - y)(x - 5 + y)

c. x2 + x - 6 = x2 - 2x + 3x - 6 = x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3)

d. 2x2 + 4x - 16 = 2(x2 - 2x - 8) = 2(x2 - 2x + 1 - 9) = 2[(x - 1)2 - 9] = 2(x - 1 - 9)(x - 1 + 9) = 2(x - 10)(x + 8)

Câu 2:

a. x3 - 16x = 0

⇔ x(x2 - 16) = 0

⇔ x(x - 4)(x + 4) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4 hoặc x = -4

b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0

⇔ (2x + 1 - x + 1)(2x + 1 + x - 1) = 0

⇔ (x + 2)(3x) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -2

Câu 3:

a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

A = (2x)3 - 1 - [(2x)3 + 1]

A = 8x3 - 1 - 8x3 - 1

A = -2

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuôc vào giá trị của x.

b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5

B = 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 5

B = 5

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x

Câu 4: P = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45

P = x2 + y2 + 36 - 2xy - 12x + 12y + 5y2 - 10y + 5 + 4

P = (x - y - 6)2 + 5(y - 1)2 + 4

Vì (x - y - 6)2 >= 0 và (y - 1)2 >= 0 với mọi x, y

⇒ P >= 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi là 4 khi và chỉ khi x = 7, y = 1

Câu 5:

Hình minh họa

a. Ta có ABCD là hình thang

Ta có AB // CD, FN // CD ⇒ AB // NF

Vậy ABFN là hình thang (dấu hiệu nhận biết).

Xét hình thang ABFN có ME // NF, ME = NF nên ME là đường trung bình của hình thang ABFN

Suy ra BE = EF.

Xét tương tự với hình thang MEDC ta suy ra EF = FD

Ta có điều phải chứng minh.

b. Theo chứng minh trên ta có: Vì NF là đường trung bình của hình thang MEDC nên NF = (ME + CD)/2 = (6 + 8)/2 = 7 (cm)

Vì ME là đường trung bình của hình thang ABFN nên ME = (AB + NF)/2 ⇒ AB = 2ME - NF = 2.6 - 7 = 5 (cm)

Trên đây là tổng hợp đề thi giữa kì 1 toán 8 từ cơ bản đến nâng cao năm học 2022-2023 kèm đáp án chi tiết. Hy vọng các bạn đã tiếp cận và làm quen được với một số dạng toán cơ bản trong các đề thi giữa kì. Chúc các bạn gặt hái được thành tích cao trong học tập.

0 notes

yelenaisace · 2 years

Text

wait why am i randomly remembering mathematic equations dfghjfdghjk

#a2 - 2ab + b2 #you will always be famous <3 #ramblings

5 notes · View notes

acemywriter · 3 years

Text

Algebra formula

a2 – b2 = (a – b)(a b) (a b)2 = a2 2ab b2 a2 b2 = (a – b)2 2ab (a – b)2 = a2 – 2ab b2 (a b c)2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a – b – c)2 = a2 b2 c2 – 2ab – 2ac 2bc (a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 ; (a b)3 = a3 b3 3ab(a b) (a – b)3 = a3 – 3a2b 3ab2 – b3 a3 – b3 = (a – b)(a2 ab b2) a3 b3 = (a b)(a2 – ab b2) (a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b 3ab2 – b3 (a b)4 = a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4) (a – b)4 = a4 –…

View On WordPress

#Writing

0 notes

nbvhauab · 4 years

Text

잃어 가는 것 - 김윤진 ㈊ 직선의 위치관계℉

잃어 가는 것 - 김윤진 이런저런 생각에 치여 누구에게도 내어 줄 여유가 없고 만나면 돌아갈 시간을 계산하는 이룰 수 없는 사이가 연민으로 동여맸을까 맥없는 한숨도 부질없음을 안다 그럼에도 놓지 못하는 심정을 충분히 동참하고 헤아렸을까 그만 미련의 자리를 내어주렴 시선이 한 곳으로 모였다 그러나 못보니 멀어지고 멀어지니 새삼스러워 그렇게, 그렇게 산다는 것은 하나, 둘 잃어가는 거라지 직선의 위치관계 1. 교과서 속 주개념 1) 평행한 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + b y = a′x + b′ 라 하면 a = a′, b ≠ b′ 의 조건을 만족할 때 두 직선은 평행하다. 이는 서로 다른 출발점(예컨대 y절편)에서 우상향하는 직선인 경우 출발점에서 y값의 차가 b - b′ 이라면 x만큼 이동시에도 두 직선의 기울기가 동일하기 때문에 y값의 차이는 여전히 b - b′이게 된다. 평행한 두 직선은 교점이 없다. 2) 일치하는 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + by = a′x + b′ 라 하면 a = a′, b = b′ 인 조건을 만족할 때 두 직선은 일치하게 된다. 일치하는 두 직선은 무수히 많은 교점을 갖는다.(부정) 3) 수직인 경우 두 직선의 방정식을 y = ax = b y = a′x + b′ 라 하면 aa′ = -1 의 조건을 만족할 때 두 직선은 직교하게 된다. b, b′의 값은 교점의 위치와 관계있을 뿐 수직여부에는 영향을 미치지 않는다. 수직인 두 직선은 하나의 교점을 갖는다. 4) 한 점에서 만나는 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + b y = a′x + b′ 라 하면 a ≠ a′ 인 조건을 만족할 때 두 직선은 한 점에서 만나게 된다. 평행하거나 일치하지 않는 직선은 반드시 한개의 교점만을 가지며 수직인 경우는 그중 특수한 위치관계일 뿐이다. [예제] 1. 수직인 직선의 기울기 곱이 -1 이 됨을 보이라. 정답 및 해설 1.피타고라스 정리에 의해, (a - b)2 = a2 + 1 + b2 + 1-2ab = 2∴ ab = -1 실용수학 조삼모사 : 만석지기가 두 형제에게 재산을 상속할 시점이 되었다고 하자. 재산을 동일하게 분배하는 것에는 첫째가 불만을 품을 것이다. 현명한 동생은 이렇게 제안한다. 형은 1000톨부터 시작하여 매일 1톨씩만 적게 가져가고 동생은 10톨부터 시작하여 매일 좁쌀 1톨씩만 더 가져가기로 하자고. 첫날부터 990톨만큼 가져가는 분량이 차이가 나는 것이니 형은 일단은 만족스러워 약속을 하게 된다.결론은? 멍청한 형에 지혜로운 동생이다. 형은 y절편값이 1000이지만 기울기가 -1인 직선을 따라 x일에는 y만큼의 좁쌀을 가져가게 된다. 동생은 y절편값이 10이지만 기울기가 1인 직선위의 점을 따라 좁쌀을 챙겨간다. 결국 495일이 지나면 동생과 형이 가져가는 좁쌀은 일치하고 이후에는 동생이 가져가는 몫이 형보다 많아지게 된다. 기울기가 다른 두 직선은 하나의 교점을 가지며 기울기가 큰 직선이 교점 이후에는 y값이 커지는 단순한 사실을 놓치고 있었던 것이다. 2. 관련 지식 1) 상용로그의 비례부분 계산 로그함수 y = logx(상용로그)는 우상향하는 증가함수이며 증가폭은 체감하는 위로 볼록한 함수이다. 선형적으로 증가하는 일차함수 형태는 아니지만 x의 값이 미세하게 변하는 부분 즉 국지적인 영역에서는 대략적으로 선형적인 증가를 가정하여 직선의 방정식을 상정하면 영역 내의 특정 점의 로그값을 구할 수 있다. 물론 이는 극한의 개념과도 상통하는 부분이다(또한 구분구적법의 논리를 생각해보라) 예컨대 x = a와 x = a + Δa에서의 로그값을 알고 있다면 x = a + Δc(0 c a)에서의 로그값은 다음과 같이 계산이 된다. 2) 공간의 꼬인위치 평면에서는 평행과 일치. 한점에서 만나는 3가지 경우가 가능하다. 그런데 공간에서는 두 직선이 평행하거나 일치하지 않으면서도 만나지 않는 위치관계가 가능하다. 이러한 관계를 꼬인 위치에 놓였다고 말하는데 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 존재하지 않는다. 심사가 뒤틀렸을 때 꼬였다고 표현하듯 한 평면에 담지 못하는 두 직선의 위치관계를 꼬였다고 표현하는 것은 적절한 명명인 셈이다.

0 notes

tremendousfartzombie · 4 years

Link

a+b whole square(a + b)2 = a2 + 2ab + b2a+b+c whole square (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca. a square + b square

#a+b+c whole square formula

0 notes

esenialevandovskaya · 6 years

Text

Солнечный день.

Я совершенно нездоров,

А совершенству нет предела,

Моя фамилия Бобров,

К вашим делам мне нету дела.

Живу в столице я прекрасной,

Питаюсь рыбой, отрубями,

В любви к искусству я витаю,

Делюсь последними деньгами .

День празднества настал внезапно,

Я праздную свою победу,

Эта победа не напрасна -

Победа над самим собой.

Я выгнал вон плохие мысли,

Фрустрация не властна больше надо мной.

В свои 25 я выгляжу неплохо,

Люблю зефир, рисую лошадей,

На душе вот только плохо

От окружающих блядей.

Цветочный сад засеял утром,

Собрался на свидание один.

Почему один, господин?

Друзья мои покрылись пылью,

А бляди обернулись былью.

Я один, мне хорошо,

Владею навыком ОШО.

Скребутся кошки в колыбели,

Мои мозги висят на ели.

День безоблачный и ясный,

Для разглагольства он прекрасный.

А разглагольствия какие?

Купить стихи недорогие,

Красиво их сложить в коробку

И беспробудно созидать.

Созиданье в светлый час,

Постараюсь я для вас

Быть произведением искусства -

Приготовлю рыбку вкусно.

Мои мысли хаотичны,

За окном щебечут птички.

Весна пришла к нам на рассвете,

Поутру Есению встретил,

С ней Есенин шёл в обнимку,

Принесли они весну.

Солнца луч в моем окне,

Блик лежит на простыне,

Ель промыла мне мозги,

Слышу я морские звуки,

Думаю, пора отправить

Свой г��рячий пыл на бал.

Хочешь продолженья, друг мой?

Сыграй сначала в париматч.

У меня творческий застой,

Я расстроюсь, ты не плачь.

Зачем же слезы лить никчёмно?

Ведь рифма, видишь, вразнобой.

Я сяду в более укромном месте,

Где мы и встретимся с тобой.

Я желаю озарения в сию минуту,

Чтоб солнца луч согрел твоё нутро,

Чтобы улыбка скрасила даже простуду

И счастливой просыпаться поутру.

Пришёл домой я, кофе выпил,

И к осознанию пришёл,

Что всех давным-давно простил я,

Но поезд их давно ушёл.

Я их простил, мне все равно,

Какие звуки издаёт улыбка,

Отчего глаза сияют, все равно.

Все ссоры, ругань и обиды,

Все позабылось, словно сон,

Но и объятий не осталось

И не остался голос в памяти моей.

Ну что ж, а я с природой воссоединяюсь,

Пишу стихи и у меня все хорошо.

0 notes

wishnevskaya · 6 years

Text

я просто решила написать каждую мысль, которая будет бить ключом из моей головы.

я его забуду. я просто приняла это решение. пусть дальше дрочит и мечтает о своей А. мне плевать. плевать, плевать, плевать. я смогу пойти дальше и жить счастливо.

а блин, странно получается. человек, которого ты раньше считал не чужим, становится для тебя посторонним. вот просто посторонним. никем. он больше никто в твоей жизни и скоро выселится из твоих мыслей. а давно бы пора. я устала тратить свою энергию на мысли о нём. пусть как хочет. я любила его всем сердцем. может ещё люблю. но ОН хотел, чтобы я перестала что-либо чувствовать к нему. да ничего он не хотел, но уже блять похуй. мы не общаемся три недели и я серьёзно блять, оказывается, могу жить без него. и жить прекрасно. я буду потихоньку вылезать из этой эмоциональной ямы.

сегодня я проснулась от звонка парня моей подруги. он хотел позвать меня к ним в гости, выпить водочки, но у меня сегодня были курсы. на самом деле я польщена, что он хотел меня позвать к ним. но они поссорились с моей подругой. я очень бы хотела, чтоб у них всё было хорошо. я надеюсь они помирятся. они правда очень классная пара.

как, блять, меня бесит то, что Марина сливала мои переписки Лёше. ебаааать. сука. сука.сука. я ей личное писала, вообще-то. а ей похуй. интересно, что Стас меня лапал, она тоже Лёше рассказала? или у неё проснулась совесть и она решила промолчать? ебаааать, как же я ущербной выгляжу в их глазах. меня ещё так не унижали. да я сама себя унизила тем, что могла доверять ей. хотя мы общались шесть грёбаных лет, тут у неё появился парень и она решила просто слить ему всю мою личную жизнь.пообсуждать они меня решили. да и хуй с ними. минус два друга. интересно, что дальше.

ревную Семёна к Кым. она действительно по-скотски начала относиться к нему. заставила его бегать за ней, влюбила в себя, а теперь отшивает. пиздец. на самом деле самая уёбищная часть меня завидует ей, что она может так делать, а я нет. была бы у меня её внешность, Стас бы смог влюбиться в меня. хотя нужен ли он мне такой? нет, не нужен

осталось оборвать все надежды на то, что мы снова сможем общаться. он не нужен мне. у меня всё будет ахуительно и без него, а он пусть катится к свой Анечке. мне по ху ю. даже если они переебутся там блять, мне насрать.

доставать все мысли из сознания это очень странно.

я боюсь не сдать ЕГЭ. то есть как бы февраль, ёбаный этот месяц, а я не начинала готовиться к информатике. потому что я тупая блять. и когда мы решаем пробники по матеше, я тоже осознаю, что блять. я в пизде. я не знаю что делать. надо взять себя уже в руки и дожать как лимон. я смогу.

февраль. скоро будет год. 14 февраля. я не люблю этот день не потому что это глупый праздник, а потому, что меня триггерит от этой даты. именно тогда он меня позвал гулять и отшил впервые. та дааам. лучше б мы не начинали общаться тогда. надо было ещё тогда закрыть лс к хуям собачьим. сейчас жила бы спокойно и счастливо.

Сегодня мы стояли на остановке, я сказала, что жаль, что очень холодно, а то могли бы сползать куда-то. Семён сказал типа куда тебе ползать, сиди дома и болей. надо было сказать типа что, раз Анька теперь в Перми, меня нахуй можно посылать. но можно он правда заметил, что я приболела. а хуй знает.

если даже Аня и Стас будут встречаться... А из них бы получилось классная пара, только у меня сердце болит даже при написании этих слов или озвучивания в голове. но они правда классно бы смотрелись: оба красивые, по росту смотрелись бы гармонично. в общем похуй

Я завидую Ане. чертовски завидую. она ахеренна красива. я ненавижу эту тупую блять зависть внутри себя. я чувствую себя ничтожеством. я оправлюсь после этого. и никогда не подпущу к себе Стаса. Я буду счастлива.

0 notes